/Szkoła średnia/Równania

Zadanie nr 6758682

Dla jakich wartości parametru p ∈ R równanie 4 2 2 x + 2 (p− 2)x + p − 1 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podstawiamy 2 t = x i mamy równanie kwadratowe

2 2 t + 2(p − 2)t + p − 1 = 0

Aby wyjściowe równanie miało dokładnie dwa pierwiastki, powyższe równanie kwadratowe musi mieć dokładnie jeden pierwiastek dodatni (da on nam dwa x -y). Sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki.

0 ≤ Δ = 4(p − 2)2 − 4(p2 − 1) = ( ) = 4(p2 − 4p + 4 − p 2 + 1 ) = 4(− 4p + 5) = − 16 p− 5- 4 ( 5⟩ p ∈ − ∞ ,-- . 4

Sprawdźmy teraz kiedy dokładnie jeden z pierwiastków jest dodatni.

Na początek sprawdźmy sytuacje gdy Δ = 0 , czyli gdy p = 5 4 . Mamy wtedy równanie

( )2 t2 − 3t+ 9--= t − 3- . 2 16 4

W tej sytuacji otrzymujemy równanie z jednym dodatnim pierwiastkiem, więc będą spełnione warunki zadania.

Jeżeli Δ > 0 to pytamy się kiedy pierwiastki są różnych znaków (żeby dostać 2, a nie 4 wartości x ). Na mocy wzorów Viète’a tak będzie, gdy

0 > t1t2 = p 2 − 1 = (p − 1)(p + 1) ⇐ ⇒ p ∈ (− 1,1).

Łącząc otrzymane rozwiązania, otrzymujemy więc { } p ∈ (− 1,1) ∪ 5 4 .  
Odpowiedź: { 5} p ∈ (− 1,1) ∪ 4

Wersja PDF