Zadanie nr 9854876
Niech będzie zbiorem wszystkich liczb
, które spełniają równość
. Niech
będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory
i
oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do
i do
.
Rozwiązanie
W rozwiązaniu będziemy korzystać z interpretacji liczby

jako odległości na osi liczb i
.
Równość spełniają punkty, których suma odległości od liczb 1 i 3 jest równa 2. Ponieważ przedział
ma dokładnie długość 2, ten warunek spełniają wszystkie liczby z tego przedziału. Z drugiej strony, żadna liczba spoza tego przedziału nie może spełniać tego warunku, bo jej odległość do jednej z liczb 1 lub 3 musi być większa od 2. zatem
.
Podobnie rozszyfrowujemy zbiór : przedział
ma długość 2, więc punkty, których suma odległości od końców tego przedziału jest
muszą być albo w tym przedziale, albo być w odległości niewiększej niż 1 od jednego z jego końców (bo wtedy suma odległości od końców będzie
). Zatem
.
Zbiory i
mogliśmy też wyznaczyć czysto rachunkowo. Wystarczy w tym celu rozwiązać równanie i nierówność

przez standardowe rozbijanie na przypadki.
Jeżeli już wiemy czym są zbiory i
bez trudu wykonujemy obrazek.
Z obrazka widać, że .