/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt

Zadanie nr 5473234

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są punkty A = (2,3), B = (5,0), C = (0,− 5) .

  • Uzasadnij, że proste AB i BC są prostopadłe.
  • Wyznacz współrzędne takiego punktu D , dla którego czworokąt ABCD jest prostokątem.
  • Oblicz pole prostokąta ABCD .

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

PIC

  •  

    Sposób I

    Napiszemy równania prostych AB i BC i sprawdzimy, że są prostopadłe. Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA) i B = (xB,yB ) :

    y− y = yB-−-yA-(x − x ). A xB − xA A

    Mamy zatem

    0 − 3 AB : y− 3 = ------(x− 2) = −x + 2 ⇒ y = −x + 5 5 − 2 −-5-−-0 BC : y− 0 = 0 − 5 (x − 5 ) = x− 5 ⇒ y = x− 5.

    Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych otrzymanych prostych jest równy -1, proste te są prostopadłe.

    Sposób II

    Zamiast pisać równania prostych, mogliśmy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa: wystarczy sprawdzić, czy

    2 2 2 AB + BC = AC 2 2 2 2 2 2 (5 − 2 ) + (0 − 3) + (0 − 5) + (− 5− 0) = (0 − 2) + (− 5− 3) 9 + 9 + 2 5+ 2 5 = 4+ 64 6 8 = 68.

    Otrzymaliśmy prawdziwą równość co dowodzi, że trójkąt ABC jest prostokątny.

  •  

    Sposób I

    Jeżeli poprzedni podpunkt rozwiązywaliśmy pisząc równania prostych to wiemy jakie mają być współczynniki kierunkowe boków prostokąta, więc łatwo napisać równania prostych AD i CD . Prosta AD jest postaci y = x + b . Ponieważ ma niej leżeć punkt A = (2 ,3) mamy

    3 = 2 + b ⇒ b = 1.

    Podobnie wyznaczamy równanie prostej CD . Musi ono mieć postać y = −x + b . Podstawiając współrzędne punktu C = (0,− 5) mamy

    − 5 = b.

    Pozostało znaleźć punkt wspólny D tych dwóch prostych.

    { y = x + 1 y = −x − 5

    Dodając te dwa równania stronami mamy

    2y = − 4 ⇒ y = − 2.

    Stąd x = y − 1 = − 3 i D = (− 3,− 2) .

    Sposób II

    Ponieważ przekątne prostokąta dzielą się na połowy, łatwo jest wyliczyć ich punkt wspólny S : jest to po prostu środek odcinka AC .

    ( 2+ 0 3 − 5) S = -----,------ = (1,− 1). 2 2

    Z drugiej strony, musi to być środek odcinka o końcach B i D = (xD ,yD ) , czyli

    ( ) { 5-+-xD- 0-+-yD- 5+ xD = 2 (1,− 1) = 2 , 2 ⇒ yD = − 2.

    Zatem D = (−3 ,−2 ) .  
    Odpowiedź: D = (− 3,− 2)

  • Liczymy długości boków prostokąta.
    ∘ ------------------- √ ------ √ -- AB = (5 − 2)2 + (0 − 3)2 = 9 + 9 = 3 2 ∘ --------------------- √ -------- √ -- BC = (0 − 5)2 + (− 5− 0)2 = 25 + 25 = 5 2.

    Zatem pole jest równe

    P = 3√ 2-⋅5√ 2-= 30.

     
    Odpowiedź: 30

Wersja PDF