Zadanie nr 6250343

Punkt A = (3,1),B = (7,3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

Wyznaczymy równania prostych prostopadłych przechodzących przez punkt i (na rysunku oznaczone przez k,l ), a następnie na każdej z tych prostych znajdziemy punkty które są w takiej samej odległości od punktu (odpowiednio ) co punkt od punktu . Najpierw wyznaczymy pomocniczą prostą przechodzącą przez punkty A,B

{ 1 = 3a+ b 3 = 7a+ b.

Odejmujemy stronami równania

1 2 = 4a ⇒ a = 2.

Stąd

3- 1- b = 1 − 3a = 1 − 2 = − 2 ,

czyli lAB : y = 12x − 12 . Niech

k : y = ax + b1 i l : y = ax + b2.

Obydwie powyższe proste są prostopadłe do lAB , więc

1a = − 1 ⇒ a = − 2. 2

Wyznaczamy prostą

1 = 3⋅(− 2) + b1 ⇒ b1 = 7 k : y = − 2x+ 7.

Wyznaczamy prostą

3 = 7 ⋅(− 2)+ b2 ⇒ b2 = 17 l : y = − 2x+ 17.

Liczymy odległość punktu od

∘ ------------------- √ ------- √ -- d (A,B ) = (7 − 3)2 + (3 − 1)2 = 16 + 4 = 2 5.

Gdybyśmy mieli teraz geometrycznie wyznaczyć pozostałe punkty, to wystarczyło by narysować okręgi o środkach w punktach i i promieniu √ --- 20 . Wówczas szukanymi punktami byłyby punkty przecięcia się tych okręgów z prostymi i . My zrobimy dokładnie to samo tyle, że używając rachunków. Okrąg o środku w punkcie i promieniu ma równanie