Zadanie nr 8729993

Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A = (− 1,7),B = (− 9,− 1),C = (− 1,− 2),D = (3,2) . Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się przekątnych trapezu ABCD .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Aby znaleźć punkt wspólny dla przekątnych i musimy wyznaczyć ich równania.

Równanie prostej łatwo zgadnąć patrząc na współrzędne punktów i : jest to prosta x = − 1 .

Szukamy teraz prostej w postaci y = ax+ b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ − 1 = − 9a + b 2 = 3a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 3 = 12a , czyli 1 a = 4 . Stąd b = 2− 3a = 54 i prosta ma równanie: y = 14x + 54 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny prostych i .

{ x = − 1 1 5 y = 4x+ 4.

Podstawiając x = − 1 do drugiego równania mamy y = 1 , więc O = (− 1,1) .

Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej . Jak zwykle szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawimy współrzędne punktów i .

{ 7 = −a + b − 1 = − 9a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 8 = 8a , czyli a = 1 . Stąd b = 7+ a = 8 i prosta ma równanie: y = x+ 8 .

Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Niech będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej . Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej – jest to prosta prostopadła do , czyli prosta postaci y = −x + b i przechodząca przez . Podstawiając współrzędne punktu mamy