Zadanie nr 9510956

Przekątne deltoidu ABCD przecinają się w punkcie , który znajduje się w III ćwiartce układu współrzędnych. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie BCD jeżeli okręgi opisane na trójkątach BCS i BSA mają odpowiednio równania x2 + y2 + 16x + 12 = 0 i x 2 + y 2 − 2 0 = 0 .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od schematycznego rysunku.

Z podanych równań okręgów łatwo wyznaczyć współrzędne ich punktów przecięcia.

{ x2 + y2 + 16x + 12 = 0 2 2 x + y − 20 = 0

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

16x + 32 = 0 ⇐ ⇒ x = − 2.

Podstawiamy tę wartość do drugiego równania układu.

2 2 y = −x + 20 = 16 ⇐ ⇒ y = ± 4 .

W takim razie punkty wspólne dwóch danych okręgów to (− 2,− 4) i (− 2,4) . Wiemy, że punkt znajduje się w III ćwiartce układu, więc musimy mieć S = (− 2,− 4) oraz B = (− 2,4) .

Ponieważ przekątne deltoidu są prostopadłe, a prosta jest pionowa, przekątna jest poziomą prostą przechodzącą przez punkt , czyli prostą y = − 4 . Możemy więc teraz łatwo wyznaczyć współrzędne punktu C = (x,− 4) . Podstawiamy współrzędne tego punktu do równania okręgu opisanego na trójkącie BCS .

2 2 x + y + 16x + 1 2 = 0 x2 + 16 + 16x + 12 = 0 2 x + 16x + 28 = 0 Δ = 162 − 4 ⋅28 = 144 x = −-16−--12-= −1 4 ∨ x = −-1-6+-1-2 = − 2. 2 2

Drugie rozwiązanie prowadzi do punktu , więc wybieramy pierwsze rozwiązanie, czyli C = (− 14,− 4) .

Trójkąt BCD jest trójkątem równoramiennym, więc jego środek okręgu opisanego leży na prostej , czyli ma współrzędne postaci O = (x ,− 4) . Punkt ten musi znajdować się w tej samej odległości od wierzchołków trójkąta BCD , co pozwala wyznaczyć pierwszą współrzędną punktu .