/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 1611375

Boki AB i DA rombu ABCD są zawarte odpowiednio w prostych o równaniach y = − 17x + 379 i y = − 7x + 33 . Napisz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego rombu, jeżeli jego środek ma współrzędne S = (1,2) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy romb z przekątnymi (nasz rysunek jest dość dokładny, ale do rozwiązania wystarczy zwykły schematyczny szkic rombu – nie musi być nawet w układzie współrzędnych).

PIC

Rozpoczynamy od wyznaczenia punktu A – jest to punkt wspólny dwóch podanych prostych.

{ y = − 17x + 397- y = − 7x + 33.

Porównujemy y -ki i mamy

1 39 − -x + ---= − 7x + 33 / ⋅7 7 7 − x+ 39 = − 49x + 2 31 48x = 192 ⇒ x = 4.

Stąd y = − 7x + 3 3 = 5 i A = (4,5) .

Sposób I

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe, równanie prostej BD możemy łatwo napisać jako równanie prostej prostopadłej do AS i przechodzącej przez S . Najpierw wyznaczamy więc równanie prostej AS . Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i S .

{ 5 = 4a + b 2 = a+ b

Odejmując równania stronami (żeby skrócić b ) otrzymujemy 3 = 3a , czyli a = 1 . Współczynnika b możemy nie wyznaczać, bo nie jest nam potrzebny. Prosta BD jest prostopadła do AS , więc ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu S .

2 = −1 + b ⇒ b = 3.

Interesująca nas przekątna BD ma więc równanie y = −x + 3 .

Sposób II

Tym razem wyznaczymy współrzędne pozostałych wierzchołków rombu. Zaczynamy od C = (x ,y ) C C – punkt S jest środkiem odcinka AC , więc

A + C ( 4 + x 5+ y ) S = -------= -----C-,-----C- { 2 2 2 1 = 4+xC- ⇒ x = − 2 5+2yC C 2 = --2-- ⇒ yC = − 1.

Zatem C = (− 2,− 1) . Aby wyznaczyć współrzędne punktu B piszemy równanie prostej BC . Prosta ta jest równoległa do DA , więc ma równanie postaci y = − 7x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu C .

− 1 = 1 4+ b ⇒ b = − 15.

Prosta BC ma więc równanie y = − 7x − 15 . Wyznaczamy teraz jej punkt wspólny B z prostą AB .

{ y = − 7x − 1 5 y = − 1 x+ 39 7 7

Porównujemy y -ki i mamy

1 39 − 7x− 15 = − --x + --- / ⋅7 7 7 − 49x − 105 = −x + 39 − 144 = 48x ⇒ x = − 3.

Stąd y = − 7x − 1 5 = 6 i B = (−3 ,6) . Pozostało teraz napisać równanie prostej BS (czyli przekątnej BD ). Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów B i S .

{ 6 = − 3a + b 2 = a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy − 4 = 4a , czyli a = −1 . Stąd b = 2 − a = 3 i interesująca nas przekątna ma równanie y = −x + 3 .

Sposób III

Korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→v = −S→A = [4− 1,5− 2] = [3,3],

a punkt to S = (1,2) . Szukane równanie przekątnej ma więc postać.

3(x − 1)+ 3(y − 2) = 0 / : 3 x− 1+ y− 2 = 0 y = −x + 3.

 
Odpowiedź: y = −x + 3

Wersja PDF