Zadanie nr 1675139

Przekątna rombu ABCD jest zawarta w prostej o równaniu y = 2x − 3 . Wierzchołki i mają współrzędne A = (− 1,− 5) i D = (− 6,5) . Oblicz współrzędne wierzchołków i oraz pole rombu ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Zauważmy, że trójkąty ADC i ABC są równoramienne i przystające. W szczególności pole rombu ABCD jest dwa razy większe od pola któregokolwiek z tych trójkątów.

Sposób I

Ponieważ wierzchołek leży na prostej y = 2x − 3 , więc ma współrzędne postaci C = (x,2x − 3) . Zapiszemy teraz warunek AD = DC .

AD 2 = DC 2 2 2 2 2 2 2 (− 6 + 1) + (5 + 5) = (x + 6) + (2x − 3 − 5) = (x + 6) + (2x − 8) 25 + 1 00 = x2 + 12x + 36 + 4x 2 − 32x + 64 0 = 5x2 − 20x − 25 / : 5 2 0 = x − 4x− 5 Δ = 16 + 20 = 36 4 − 6 4 + 6 x = ------= − 1 lub x = ------= 5. 2 2

Pierwsze rozwiązanie daje współrzędne punktu , więc musi być x = 5 , czyli

C = (x,2x − 3) = (5,7 ).

Przekątne rombu dzielą się na połowę, więc punkt przecięcia przekątnych ma współrzędne

( ) A--+-C- −-1+--5 −-5-+-7 S = 2 = 2 , 2 = (2 ,1).

To pozwala obliczyć współrzędne punktu .

B-+-D-- S = 2 ⇒ B = 2S − D = (4,2)− (−6 ,5) = (10,− 3).

Pole rombu to połowa iloczynu długości jego przekątnych.

∘ ------------------- √ --------- √ ---- √ -- AC = (5 + 1)2 + (7+ 5)2 = 36 + 144 = 180 = 6 5 ∘ ---------------------- √ --------- √ ---- √ -- BD = (− 6 − 10)2 + (5 + 3)2 = 256 + 6 4 = 320 = 8 5 √ -- √ -- P = 1-⋅AC ⋅BD = 1-⋅6 5 ⋅8 5 = 12 0. ABCD 2 2

Sposób II

Napiszmy równanie przekątnej rombu. Jest ona prostopadła do , więc ma równanie postaci y = − 1x+ b 2 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .