/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 1908686

Punkt A (− 1;− 2) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden z boków zawiera się w prostej k o równaniu x − 2y − 3 = 0 . Środkiem symetrii tego rombu jest punkt S(2;2) . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu i oblicz jego pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.

PIC

Od razu zauważamy, że punkt A leży na podanej prostej. Od ręki możemy wyznaczyć współrzędne punktu C (bo S jest środkiem odcinka AC ). Mamy

1- 2 = xS = 2 (− 1+ xC) ⇒ xC = 5 1 2 = yS = --(− 2+ yC) ⇒ yC = 6. 2

Zatem C = (5,6) . Co do kolejnych wierzchołków, to jest kilka możliwości, ale najprościej jest skorzystać z tego, że przekątne rombu są prostopadłe. Zatem możemy łatwo napsać równanie przekątnej BD – jest to prosta przechodząca przez S i prostopadła do prostej AC . Skorzystamy z niezwykle wygodnego wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x ,y ) 0 0 i prostopadłej do wektora → v = [p,q]

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy (x0,y0) = S = (2,2) i → → v = AC = [6,8] . Zatem prosta BD ma równanie

6(x − 2 )+ 8 (y− 2) = 0 ⇒ 3x + 4y − 1 4 = 0.

Przecięcie tej prostej z podaną prostą to dokładnie punkt B . Aby go znaleźć podstawmy x = 2y + 3 do powyższego równania

6y + 9 + 4y − 14 = 0 1- 10y = 5 ⇒ y = 2 x = 2y + 3 = 4.

Zatem 1 B = (4,2) . Punkt D wyznaczamy pdobnie jak wcześniej wyznaczyliśmy punkt C .

2 = xS = 1(4+ xD ) ⇒ xD = 0 2( ) 1- 1- 7- 2 = yS = 2 2 + yD ⇒ yD = 2.

Zatem 7 D = (0,2) .

Pozostało obliczyć pole. Najprościej to zrobić ze wzoru

1 P = -|AC |⋅ |BD |. 2

Już wcześniej zauważyliśmy, że AC = [6,8] , zatem

√ -------- |AC | = 36 + 6 4 = 10.

Podobnie,

∘ -2----2 |BD | = 4 + 3 = 5 .

Zatem

1 P = --⋅1 0⋅5 = 25. 2

 
Odpowiedź: 1 B = (4,2) , C = (5,6 ) , D = (0, 7) 2 , pole: 25

Wersja PDF