Punkty A=(-2,-4) i C=(3,1) są wierzchołkami rombu ABCD, którego... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Romb, 2566303

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 2566303

Punkty $A = (− 2,− 4)$ i $C = (3,1)$ są wierzchołkami rombu $ABCD$ , którego wierzchołek $D$ leży na prostej $y = 2x + 14$ . Wyznacz współrzędne punktów $B$ i $D$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Obliczamy współrzędne punktu przecięcia się przekątnych rombu.

( ) ( ) S = A-+--C-= −-2+-3-, −-4-+-1 = 1,− 3- . 2 2 2 2 2

Sposób I

Szukamy punktu $D = (x,2x + 1 4)$ , który leży na prostej $y = 2x + 14$ i jest który jest równoodległy od punktów $A$ i $C$ .

2 2 AD = CD (x + 2)2 + (2x + 1 4+ 4 )2 = (x− 3)2 + (2x+ 14 − 1)2 (x + 2)2 + (2x + 1 8)2 = (x− 3)2 + (2x + 13)2 2 2 2 2 x + 4x + 4+ 4x + 72x + 324 = x − 6x+ 9+ 4x + 52x + 169 30x = − 150 ⇒ x = − 5.

Stąd $y = 2x + 14 = 4$ i $D = (− 5,4)$ . Współrzędne wierzchołka $B$ wyznaczamy korzystając z tego, że $S$ jest środkiem odcinka $BD$ .

B + D S = ------- ⇒ 2S = B + D ⇒ B = 2S− D = (1,− 3)− (− 5,4) = (6,− 7). 2

Sposób II

Tym razem napiszemy równanie symetralnej odcinka $AC$ (czyli przekątnej $BD$ ) i znajdziemy jej punkt wspólny $D$ z daną prostą. Równanie prostej $DB$ napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora $→v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $S = (x ,y ) 0 0$ :