Zadanie nr 3454765

Punkty A = (− 3,− 1) i C = (1,7) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD . Wyznacz równanie przekątnej tego rombu.

Rozwiązanie

Wykonujemy szkicowy rysunek.

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe oraz dzielą się na połowy, zadanie sprowadza się do napisania równania symetralnej odcinka . Zrobimy to na trzy sposoby.

Sposób I

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→ → v = AC = [1 + 3,7 + 1] = [4,8]

oraz ( ) P = −-3+2-1, −-1+2-7 = (−1 ,3) (środek odcinka ). Zatem szukana prosta ma równanie

4(x + 1)+ 8(y − 3) = 0 / : 8 1x + 1+ y− 3 = 0 2 2 1- 5- y = − 2 x+ 2.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (− 3,− 1) i (1,7) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ − 1 = − 3a + b 7 = a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować ) mamy 8 = 4a , czyli a = 2 . Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy 1 − 2 (bo pomnożony przez 2 ma dawać − 1 ). Zatem symetralna ta ma postać y = − 12x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka , czyli punktu ( −3+1 −1+7) P = -2--, -2--- = (− 1,3) .