Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3454765

Punkty A = (− 3,− 1) i C = (1,7) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD . Wyznacz równanie przekątnej BD tego rombu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wykonujemy szkicowy rysunek.


PIC


Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe oraz dzielą się na połowy, zadanie sprowadza się do napisania równania symetralnej odcinka AC . Zrobimy to na trzy sposoby.

Sposób I

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→ → v = AC = [1 + 3,7 + 1] = [4,8]

oraz  ( ) P = −-3+2-1, −-1+2-7 = (−1 ,3) (środek odcinka AC ). Zatem szukana prosta ma równanie

4(x + 1)+ 8(y − 3) = 0 / : 8 1x + 1+ y− 3 = 0 2 2 1- 5- y = − 2 x+ 2.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej AC . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (− 3,− 1) i (1,7) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ − 1 = − 3a + b 7 = a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować b ) mamy 8 = 4a , czyli a = 2 . Współczynnik b nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka AC jest prostopadła do prostej AC , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy  1 − 2 (bo pomnożony przez 2 ma dawać − 1 ). Zatem symetralna ta ma postać y = − 12x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka AC , czyli punktu  ( −3+1 −1+7) P = -2--, -2--- = (− 1,3) .

 1 5 3 = − --⋅(− 1)+ b ⇒ b = -. 2 2

Zatem symetralna ma równanie  1 5 y = − 2x + 2 .

Sposób III

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty te spełniają więc równanie

 2 2 AM = CM (x + 3)2 + (y+ 1)2 = (x − 1)2 + (y − 7)2 2 2 2 2 x + 6x + 9 + y + 2y + 1 = x − 2x + 1+ y − 14y+ 49 16y = −8x + 40 / : 16 y = − 1-x+ 5. 2 2

 
Odpowiedź: y = − 12x+ 52

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!