/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 3917715

Punkty B = (4,1) i D = (2,7) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD . Wyznacz równanie przekątnej AC tego rombu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, równanie prostej AC możemy napisać jako równanie prostej prostopadłej do prostej BD i przechodzącej przez punkt przecięcia przekątnych

( ) B-+--D- 4+--2-1-+-7- S = 2 = 2 , 2 = (3,4).

Sposób I

Napiszmy równanie prostej BD . Można to zrobić używając wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my poradzimy sobie bez niego. Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów B i D

{ 1 = 4a+ b 7 = 2a+ b.

Odejmijmy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić b ).

− 6 = 2a ⇐ ⇒ a = − 3.

Stąd b = 1 − 4a = 13 i prosta BD ma równanie y = − 3x + 13 .

Prosta AC jest prostopadła do BD , więc musi mieć postać y = 13x + b . Współczynnik b wyliczamy podstawiając współrzędne punktu S .

1- 4 = 3 ⋅3 + b b = 4 − 1 = 3 .

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji P = S = (3,4) i

−→ →v = BD = [− 2,6].

Prosta AC ma więc równanie

− 2(x − 3) + 6(y − 4 ) = 0 / : 2 − (x − 3) + 3(y − 4) = 0 − x + 3 + 3y − 12 = 0 3y = x + 9 / : 3 1 y = -x + 3 . 3

Sposób III

Zauważmy, że tak naprawdę musimy napisać równanie symetralnej odcinka BD . Symetralna ta jest zbiorem punktów = (x ,y) , które są równo odległe od końców odcinka. Mamy zatem

(x − 4)2 + (y − 1)2 = (x − 2 )2 + (y − 7)2 x 2 − 8x + 1 6+ y2 − 2y+ 1 = x2 − 4x + 4 + y2 − 14y + 4 9 12y = 4x + 36 / : 12 1- y = 3x + 3.

 
Odpowiedź: y = 1x + 3 3

Wersja PDF