/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 4683773

Punkty A (0,0) oraz C(2 ,8) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD o boku długości √ --- 34 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jak zawsze zaczynamy od schematycznego rysunku.

PIC

Sposób I

Aby wyznaczyć pozostałe wierzchołki, wystarczy znaleźć punkty, które są odległe od A i C o √ --- 34 . W tym celu wystarczy znaleźć punkty wspólne okręgów o środkach w punktach A i C i promieniu √ --- 34 . W ten sposób dostajemy układ równań

{ 2 2 x + y = 34 (x− 2)2 + (y− 8)2 = 34 { x2 + y2 − 34 = 0 2 2 x − 4x+ y − 16y + 34 = 0

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) mamy

4x + 16y − 6 8 = 0 x + 4y − 17 = 0 x = − 4y + 1 7.

Wyliczoną wartość x podstawiamy do równania pierwszego okręgu i mamy

2 2 (− 4y + 17 ) + y = 34 16y 2 − 1 36y + 289 + y2 = 3 4 2 17y − 1 36y + 289 = 3 4 / : 1 7 y2 − 8y + 17 = 2 y2 − 8y + 15 = 0.

Liczymy, Δ = 64 − 60 = 4 = 22 , co daje

y = 8−--2-= 3 1 2 8+ 2 y2 = ------= 5. 2

Mamy stąd B(5,3 ) oraz D (− 3,5) .

Sposób II

Co możemy wyliczyć mając dwa przeciwległe wierzchołki rombu? – możemy wyliczyć środek S łączącego je odcinka. Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy, S to dokładnie punkt przecięcia się przekątnych. Ponadto przekątne rombu są prostopadłe, co pozwoli nam napisać równanie drugiej przekątnej. Jak już będziemy mieli to równanie, to sprawa będzie prosta – znajdziemy na niej punkty odległe od A o √ --- 34 . Mamy plan działania, zatem do dzieła.

Środek S odcinka AC :

( ) 0-+-2-0-+-8- S = 2 , 2 = (1,4).

Aby napisać równanie drugiej przekątnej skorzystamy ze wzoru na prostą prostopadłą do wektora → v = [v1,v2] i przechodzącą przez punkt P = (x,y) :

v1(x − x0) + v2(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji

→ → v = AC = [2,8],

co daje nam równanie prostej BD

2(x − 1) + 8(y − 4) = 0 (x − 1) + 4(y − 4) = 0 x + 4y − 17 = 0.

Pozostało znaleźć na tej prostej punkty w odległości √ 34- od A (0,0) . W tym celu szukamy punktów wspólnych tej prostej z okręgiem 2 2 x + y = 34 .

{ x + 4y − 17 = 0 x2 + y2 = 34 .

Z pierwszego równania wyliczamy x = − 4y+ 17 i wstawiamy do drugiego równania. Dalsze rachunki są identyczne jak w pierwszym sposobie.

(− 4y + 17 )2 + y2 = 34 2 2 16y − 1 36y + 289 + y = 3 4 17y 2 − 1 36y + 289 = 3 4 / : 1 7 2 y − 8y + 17 = 2 y2 − 8y + 15 = 0.

Liczymy 2 Δ = 64 − 60 = 4 = 2 , co daje

8− 2 y1 = ------= 3 2 y2 = 8+--2-= 5. 2

Mamy stąd B(5,3 ) oraz D (− 3,5) .  
Odpowiedź: B (5,3) , D (− 3,5)

Wersja PDF