Zadanie nr 5262946
W rombie , którego pole jest równe 10 dane są przeciwległe wierzchołki
i
. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Rozwiązanie
Jest kilka sposobów rozwiązania tego zadania, my pokażemy jeden z nich. Najważniejsza w tym zadaniu jest dokładna analiza schematycznego rysunku.
Pozostałe wierzchołki byłoby łatwo wyliczyć gdybyśmy znali długość boku rombu. Tę długość możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego pod warunkiem, że znamy długości przekątnych. Z przekątną
nie ma problemu

Jeżeli chodzi o drugą przekątną, to skorzystamy ze wzoru na pole rombu

Stąd

Zamiast korzystać ze wzoru na pole rombu, mogliśmy zauważyć, że pole trójkąta jest równe
pola całego rombu i skorzystać ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego.
Liczymy teraz długość boku rombu

Szukamy teraz punktów, które są odległe od i
o
(lub jak kto woli przecinamy dwa okręgi o środkach w tych punktach i promieniu
). Aby nie mieć pierwiastków, od razu piszemy kwadraty odległości

Odejmując te równania stronami (żeby skrócić kwadraty) mamy

Podstawiamy to do pierwszego równania układu i mamy

Dalej, ,
lub
. Mamy wtedy
i
odpowiednio.
Odpowiedź: ,