Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5262946

W rombie ABCD , którego pole jest równe 10 dane są przeciwległe wierzchołki A (0,4) i C (4,2) . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jest kilka sposobów rozwiązania tego zadania, my pokażemy jeden z nich. Najważniejsza w tym zadaniu jest dokładna analiza schematycznego rysunku.


PIC


Pozostałe wierzchołki byłoby łatwo wyliczyć gdybyśmy znali długość boku rombu. Tę długość możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABS pod warunkiem, że znamy długości przekątnych. Z przekątną AC nie ma problemu

 ∘ -2----2 √ ------- √ -- AC = 4 + 2 = 1 6+ 4 = 2 5.

Jeżeli chodzi o drugą przekątną, to skorzystamy ze wzoru na pole rombu

 1 PABCD = -AC ⋅BD . 2

Stąd

1- √ -- 2 ⋅2 5 ⋅BD = 10 10 √ -- BD = √---= 2 5 . 5

Zamiast korzystać ze wzoru na pole rombu, mogliśmy zauważyć, że pole trójkąta ABS jest równe 14 pola całego rombu i skorzystać ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego.

Liczymy teraz długość boku rombu

 ∘ ---2------2 √ ------ √ --- AB = AS + BS = 5+ 5 = 10.

Szukamy teraz punktów, które są odległe od A i C o √ --- 10 (lub jak kto woli przecinamy dwa okręgi o środkach w tych punktach i promieniu √ --- 10 ). Aby nie mieć pierwiastków, od razu piszemy kwadraty odległości

{ x2 + (y− 4)2 = 10 2 2 (x − 4) + (y− 2) = 10 { 2 2 x + y − 8y + 16 = 1 0 x2 − 8x + 16 + y2 − 4y + 4 = 10 { x2 + y2 − 8y + 6 = 0 x2 − 8x + y2 − 4y + 10 = 0.

Odejmując te równania stronami (żeby skrócić kwadraty) mamy

8x − 4y− 4 = 0 ⇒ y = 2x − 1.

Podstawiamy to do pierwszego równania układu i mamy

 2 2 2 2 2 2 10 = x + (y − 4) = x + (2x − 1 − 4 ) = x + 4x − 20x + 25 0 = 5x2 − 20x + 1 5 = 0 / : 5 2 0 = x − 4x + 3.

Dalej, Δ = 16 − 12 = 4 , x = 1 lub x = 3 . Mamy wtedy y = 1 i y = 5 odpowiednio.  
Odpowiedź: B = (1,1) , D = (3 ,5)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!