/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 5277998

Oblicz pole i obwód rombu ABCD wiedząc, że przekątna AC jest zawarta w prostej o równaniu y = 2x − 2 oraz A = (− 1,− 4) i D = (− 6,6) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Ponieważ znamy dwa kolejne wierzchołki rombu, nie ma problemu z obliczeniem jego obwodu.

∘ --------------------- √ --------- √ -- Ob = 4AD = 4 (− 6 + 1)2 + (6 + 4)2 = 4 2 5+ 100 = 20 5 .

Pozostało teraz obliczyć pole – zrobimy to korzystając ze wzoru na pole z przekątnymi. Zauważmy, że dość łatwo możemy napisać równanie prostej zawierającej przekątną BD rombu – jest to prosta prostopadła do AC i przechodząca przez D . Szukamy więc prostej w postaci 1 y = − 2x+ b , współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu D .

6 = − 1-⋅(− 6) + b ⇒ b = 3. 2

Zatem prosta BD ma równanie 1 y = − 2 x+ 3 . Możemy teraz obliczyć współrzędne środka rombu S – jest to punkt wspólny przekątnych AC i BD .

{ y = 2x − 2 1 y = − 2 x+ 3.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

5 0 = -x − 5 ⇒ x = 2. 2

Stąd y = 2x − 2 = 2 i S = (2,2 ) . Obliczamy teraz długości przekątnych rombu

∘ ------------------- √ ------- √ --- √ -- AC = 2AS = 2 (2 + 1)2 + (2+ 4)2 = 2 9 + 36 = 2 45 = 6 5 ∘ ------------------- √ -------- √ -- BD = 2DS = 2 (2 + 6)2 + (2− 6)2 = 2 64 + 16 = 8 5.

Pole rombu jest więc równe

√ -- √ -- P = 1-AC ⋅BD = 1-⋅6 5⋅ 8 5 = 24 ⋅5 = 12 0. 2 2

 
Odpowiedź: Obwód: √ -- 20 5 , pole: 120.

Wersja PDF