Zadanie nr 5403891

Punkty A = (− 3,2) i C = (9,6) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu 40. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jest kilka sposobów rozwiązania tego zadania, my pokażemy jeden z krótszych. Najważniejsza w tym zadaniu jest dokładna analiza schematycznego rysunku.

Pozostałe wierzchołki byłoby łatwo wyliczyć gdybyśmy znali długość boku rombu. Tę długość możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABS pod warunkiem, że znamy długości przekątnych. Z przekątną nie ma problemu

∘ ---2----2 √ ---- √ --- AC = 1 2 + 4 = 160 = 4 10.

Jeżeli chodzi o drugą przekątną, to skorzystamy ze wzoru na pole rombu

1 PABCD = -AC ⋅BD . 2

Stąd

1- √ --- 2 ⋅4 1 0⋅BD = 40 40 √ --- BD = -√----= 2 10. 2 10

Zamiast korzystać ze wzoru na pole rombu, mogliśmy zauważyć, że pole trójkąta ABS jest równe pola całego rombu i skorzystać ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego.

Liczymy teraz długość boku rombu

∘ ---2-----2- √ -------- √ --- AB = AS + BS = 40+ 10 = 50.

Szukamy teraz punktów, które są odległe od i o √ --- 50 (lub jak kto woli przecinamy dwa okręgi o środkach w tych punktach i promieniu ). Aby nie mieć pierwiastków, od razu piszemy kwadraty odległości