Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5403891

Punkty A = (− 3,2) i C = (9,6) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu 40. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jest kilka sposobów rozwiązania tego zadania, my pokażemy jeden z krótszych. Najważniejsza w tym zadaniu jest dokładna analiza schematycznego rysunku.


PIC


Pozostałe wierzchołki byłoby łatwo wyliczyć gdybyśmy znali długość boku rombu. Tę długość możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego ABS pod warunkiem, że znamy długości przekątnych. Z przekątną AC nie ma problemu

 ∘ ---2----2 √ ---- √ --- AC = 1 2 + 4 = 160 = 4 10.

Jeżeli chodzi o drugą przekątną, to skorzystamy ze wzoru na pole rombu

 1 PABCD = -AC ⋅BD . 2

Stąd

1- √ --- 2 ⋅4 1 0⋅BD = 40 40 √ --- BD = -√----= 2 10. 2 10

Zamiast korzystać ze wzoru na pole rombu, mogliśmy zauważyć, że pole trójkąta ABS jest równe 14 pola całego rombu i skorzystać ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego.

Liczymy teraz długość boku rombu

 ∘ ---2-----2- √ -------- √ --- AB = AS + BS = 40+ 10 = 50.

Szukamy teraz punktów, które są odległe od A i C o √ --- 50 (lub jak kto woli przecinamy dwa okręgi o środkach w tych punktach i promieniu √ --- 50 ). Aby nie mieć pierwiastków, od razu piszemy kwadraty odległości

{ (x + 3)2 + (y − 2)2 = 50 2 2 (x − 9) + (y − 6) = 50 { 2 2 x + 6x + 9 + y − 4y + 4 = 50 x2 − 18x + 8 1+ y2 − 12y+ 36 = 50 { x2 + 6x + y 2 − 4y − 3 7 = 0 x2 − 18x + y 2 − 1 2y+ 67 = 0.

Odejmując te równania stronami (żeby skrócić kwadraty) mamy

24x + 8y − 104 = 0 ⇒ y = − 3x + 13.

Podstawiamy to do pierwszego równania układu i mamy

 2 2 x + 6x + 9x − 78x + 169 + 1 2x− 52− 37 = 0 1 0x2 − 60x + 80 = 0 2 x − 6x + 8 = 0.

Dalej, Δ = 36 − 32 = 4 , x = 2 lub x = 4 . Mamy wtedy y = 7 i y = 1 odpowiednio.  
Odpowiedź: B = (4,1) , D = (2 ,7)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!