Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5425996

Punkty A = (0,0) i C = (8,4) są wierzchołkami rombu ABCD , którego jeden z boków zawiera się w prostej y = 4 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Widać, że boki AB i CD mają równania odpowiednio y = 0 i y = 4 (druga prosta jest podana w treści, a pierwsza musi być do niej równoległa i musi przechodzić przez A , więc jest to y = 0 ). Pozostałe dwa wierzchołki wyznaczymy pisząc równanie przekątnej BD i znajdując jej punkty wspólne z prostymi AB i CD .

Środek S przekątnej AC ma współrzędne

 ( ) S = 0-+-8, 0-+-4 = (4,2). 2 2

Prosta BD jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez S . Wyznaczymy jej równanie na dwa sposoby.

Sposób I

Napiszmy najpierw równanie prostej AC . Skoro przechodzi ona przez punkt (0,0) to jest postaci y = ax . Podstawiając w tym równaniu współrzędne punktu C mamy

 1- 4 = 8a ⇒ a = 2.

Zatem prosta AC ma równanie y = 1x 2 , a prosta BD jako prostopadła do niej ma postać y = − 2x+ b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu S .

2 = − 8+ b ⇒ b = 1 0.

Zatem równanie BD to y = − 2x + 10 . Znajdźmy jej punkt wspólny z prostą y = 0 :

0 = − 2x + 1 0 ⇒ x = 5.

Zatem B = (5,0) . Teraz znajdujemy punkt wspólny z prostą y = 4 .

4 = − 2x + 1 0 ⇒ x = 3.

Zatem D = (3,4) .

Sposób II

Równanie prostej BD można bardzo szybko napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt S = (x 0,y0) :

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→ → v = AC = [8,4]

i S = (4,2) . Zatem prosta BD ma równanie

8(x − 4)+ 4(y − 2) = 0 / : 4 2x − 8 + y − 2 = 0 y = − 2x + 10 .

Współrzędne punktów B i D wyznaczamy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: B = (5,0), D = (3,4)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!