Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5527849

Na okręgu o równaniu  2 2 x + y = 8 opisano romb o polu 100 3 . Dłuższa przekątna rombu zawiera się w prostej o równaniu y = x . Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

PIC


Ponieważ przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych to środek okręgu wpisanego w romb pokrywa się z punktem przecięcia wysokości. Ponadto promień okręgu wpisanego to dokładnie połowa wysokości rombu. Możemy więc zapomnieć o okręgu wpisanym i pamiętać, że mamy środek (0,0) i wysokość rombu  √ -- 4 2 .

Ponieważ mamy podane pole rombu, możemy wyliczyć długość jego boku

 √ -- 1030 25 2 a = -√---= ------. 4 2 6

Mając długość boku i wysokość rombu możemy wyliczyć długości przekątnych. Z trójkąta prostokątnego BHC mamy

 ∘ ------------ ∘ ----------- BH = BC 2 − CH 2 = 1250-− 3 2 = 36 √ 98- 7√ 2- = -----= ----. 36 6

Zatem  32√2- AH = 6 i możemy wyliczyć długość przekątnej AC

 ∘ ------------- ∘ -----2------ ∘ ------- AC = AH 2 + HC 2 = 2⋅-32-+ 32 = 4 32-+ 2 = --- 36 9 ∘ 50 20√ 2- = 4 ---= ------. 9 3

Szukamy teraz na prostej y = x punktów w odległości 10√-2- 3 od punktu (0,0)

 2 2 20 0 x + y = -9-- 2x2 = 200- ⇒ x 2 = 100-. 9 9

Stąd  10 10 A = (− 3 ,− 3 ) i  10 10 C = (3 ,3 ) .

Punkty B i D leżą na prostej prostopadłej do y = x i przechodzącej przez (0,0) , czyli na prostej y = −x . Ponadto ich odległość od punktu (0,0) (ze wzoru na pole P = 1d d 2 1 2 ), to:

 √ -- 1 50 5 5 2 --⋅--3√--= -√---= -----. 2 203-2 4 2 2

Szukamy punktów B i D .

x2 + y2 = 5-0 4 2 50 2 25 2x = 4-- ⇒ x = -4 .

Stąd B = (5,− 5) 2 2 , D = (− 5 , 5) 2 2 .  
Odpowiedź:  10 10 (− 3 ,− 3 ) ,  5 5 ( 2,− 2) ,  10 10- ( 3 , 3 ) , (− 52, 52)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!