Zadanie nr 6113516
Punkt jest wierzchołkiem rombu
o polu 60. Przekątna
zawiera się w prostej
o równaniu
. Wyznacz równanie okręgu wpisanego w ten romb.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.
Środkiem okręgu wpisanego w romb jest punkt przecięcia się jego przekątnych. Aby go wyznaczyć zacznijmy od napisania równania drugiej przekątnej – jest to prosta postaci
(bo jest prostopadła do
) i przechodzi przez
, więc

Punkt jest punktem wspólnym prostych
i
, czyli jego współrzędne są rozwiązaniami układu równań

Odejmujemy równania stronami i mamy

Stąd i
.
Średnica okręgu wpisanego w romb jest równa jego wysokości – łatwo ją będzie obliczyć z podanego pola jeżeli tylko będziemy wiedzieli jaka jest długość boku rombu.
Sposób I
Jeżeli jest środkiem rombu, to łatwo obliczyć długość odcinka
– jest to odległość punktu
od danej prostej
. Mamy zatem

To z kolei pozwala łatwo obliczyć długość odcinka – korzystamy z podanego pola rombu.

Teraz łatwo obliczyć długość boku rombu – korzystamy tego, że przekątne rombu są prostopadłe

Obliczamy teraz wysokość rombu.

Okrąg wpisany w romb ma więc równanie

Sposób II
Jeżeli jesteśmy trochę mniej sprytni, to możemy powyznaczać współrzędne wierzchołków rombu. Obliczamy najpierw długość odcinka .

Tak jak w poprzednim sposobie obliczamy długość odcinka .

Wierzchołki i
mają współrzędne postaci
oraz

Wybieramy którekolwiek z rozwiąząń i mamy np. . Stąd

Promień okręgu i jego równanie wyznaczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: