Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6287844

W rombie ABCD dane są A = (−1 ,−5 ) i punkt przecięcia przekątnych S = (2,− 2) . Wierzchołek B leży na prostej y = 13x − 4 . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Ponieważ przekątne rombu dzielą się na połowy, punkt S jest środkiem odcinków AC i BD . To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne punktu C = (x ,y ) C C .

 ( ) A-+-C-- −-1-+-xC- −-5-+-yC- (2,− 2) = S = 2 = 2 , 2 { 4 = − 1 + xC ⇒ xC = 5 − 4 = − 5 + y ⇒ y = 1. C C

Zatem C = (5,1) .

Możemy teraz napisać równanie przekątnej BD rombu – jest to prosta prostopadła do AC i przechodząca przez S . Równanie prostej BD napiszemy na kilka sposobów.

Sposób I

Jeżeli punkt P = (x ,y ) leży na prostej BD to

AP = CP 2 2 AP = CP (x+ 1)2 + (y+ 5)2 = (x − 5)2 + (y− 1)2 2 2 2 2 x + 2x + 1 + y + 10y + 25 = x − 10x + 25 + y − 2y + 1 12y = − 12x y = −x .

Szukamy teraz punktu wspólnego B prostych BD i danej prostej  1 y = 3x − 4 .

{ y = −x y = 13x − 4

Mamy zatem

 1- − x = 3x − 4 4 4 = -x ⇒ x = 3. 3

Stąd y = −x = −3 i B = (3,− 3) . Pozostało wyznaczyć współrzędne punktu D .

 ( ) (2,− 2) = S = B-+--D-= 3-+-xD-, −-3-+-yD 2 2 2 { 4 = 3 + xD ⇒ xD = 1 − 4 = − 3+ yD ⇒ yD = − 1 .

Zatem D = (1,− 1) .

Sposób II

Równanie prostej BD możemy napisać jako równanie prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez S . Najpierw wyznaczmy równanie prostej AC . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiając współrzędne punktów A i C mamy

{ − 5 = −a + b 1 = 5a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6 = 6a , czyli a = 1 . Współczynnika b możemy nie obliczać, bo nie jest nam potrzebny. Prosta BD jako prostopadła do AC ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik b wyznaczmy podstawiając współrzędne punktu S .

− 2 = −2 + b ⇒ b = 0.

Zatem prosta BD ma równanie y = −x . Współrzędne punktów B i D wyznaczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.

Sposób III

Równanie prostej BD można łatwo napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji

→v = −A→C = [5 + 1,1 + 5] = [6,6]

i P = S = (2,− 2) . Prosta BD ma więc równanie

6(x − 2)+ 6(y + 2) = 0 / : 6 x− 2+ y+ 2 = 0 y = −x .

Współrzędne punktów B i D wyznaczamy tak samo jak w I sposobie.  
Odpowiedź: B = (3,− 3), C = (5,1), D = (1,− 1)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!