Zadanie nr 6761383
Punkt jest wierzchołkiem rombu
o polu 90. Przekątna
zawiera się w prostej
o równaniu
. Wyznacz długość boku tego rombu.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.
Sposób I
Jeżeli jest środkiem rombu, to łatwo obliczyć długość odcinka
– jest to odległość punktu
od danej prostej
. Mamy zatem

To z kolei pozwala łatwo obliczyć długość odcinka – korzystamy z podanego pola rombu.

Pozostało obliczyć długość boku rombu – korzystamy tego, że przekątne rombu są prostopadłe (oczywiście zamiast tego możemy zauważyć, że dany romb to kwadrat).

Sposób II
Jeżeli jesteśmy mniej sprytni, to możemy powyznaczać współrzędne wierzchołków rombu. Na przykład prosta ma równanie postaci
(bo jest prostopadła do
) i przechodzi przez
, więc

Punkt jest punktem wspólnym prostych
i
, czyli jego współrzędne są rozwiązaniami układu równań

Odejmujemy równania stronami i mamy

Stąd i
. W takim razie

i

Wierzchołki i
mają współrzędne postaci
oraz

Wybieramy którekolwiek z rozwiąząń i mamy np. . Stąd

Odpowiedź: