Dany jest romb o środku symetrii S=(2,1). Bok AB jest równoległy... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Romb, 9275549

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 9275549

Dany jest romb o środku symetrii $S = (2,1 )$ . Bok $AB$ jest równoległy do prostej o równaniu $x + 2y = 0$ . Wektor $→ AC$ ma współrzędne $[12 ,6 ]$ .

Wyznacz współrzędne wszystkich wierzchołków rombu.
Sprawdź czy miara kąta $∡ABC$ jest większa niż $60∘$ .

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Jeżeli narysujemy dany wektor $→ AC$ tak aby jego środkiem był punkt $S$ , to końcami tego wektora będą punkty $A$ i $C$ . Wyznaczmy te punkty.
$→ → → → AS = 1-AC SC = 1AC 2 2 [2− x,1− y] = [6,3] [x − 2 ,y− 1] = [6,3 ] A = (x,y) = (− 4,− 2) C = (x ,y) = (8,4).$
Mając punkt $A$ możemy napisać równanie prostej $AB$ . Jest ona postaci $x + 2y + b = 0$ i przechodzi przez $A$ . Zatem
$− 4− 4+ b = 0 ⇒ b = 8.$
Podobnie wyznaczamy równanie prostej $CD : x + 2y− 16 = 0$ .
Dalszy plan jest następujący, napiszemy równanie drugiej przekątnej, czyli prostej prostopadłej do wektora $→ AC$ i przechodzącej przez $S$ , a na koniec znajdziemy jej punkty wspólne z prostymi $AB$ i $CD$ . Aby napisać równanie prostej $BD$ , korzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora $→v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $(x0,y0)$
$p(x − x0) + q(y − y0) = 0$
W naszej sytuacji
$1 2(x− 2)+ 6(y− 1) = 0 ⇒ 2x + y− 5 = 0.$
Przecinamy ją z prostą $AB : x + 2y + 8$ (od razu podstawiamy za $y$ )
$x+ 2(− 2x + 5) + 8 = 0 − 3x+ 18 = 0 x = 3.$
Zatem $B = (6,− 7)$ . Podobnie, przecinamy ją z prostą $CD : x + 2y − 16 = 0$ .
$x + 2(− 2x + 5 )− 1 6 = 0 − 3x − 6 = 0 x = −2 .$
Zatem $D = (−2 ,9)$ .
Odpowiedź: $A = (− 4,− 2)$ , $B = (6,− 7)$ , $C = (8,4)$ , $D = (− 2,9)$
Obliczymy cosinus kąta $∡ABC$ . Mamy $→ BA = [− 10,5]$ , $→ BC = [2,11]$ . Stąd $B→A ∘ →BC − 20+ 55 co s∡ABC = -→------→-- = √----------√---------= |BA |⋅|BC | 100+ 25 4 + 121 = -35- < 1-= cos 60∘. 12 5 2$
Ponieważ $co sx$ jest malejący w przedziale $(0, π-) 2$ , nierówność ta oznacza, że $∡ABC > 60∘$ .
Odpowiedź: $∘ ∡ABC > 60$