Zadanie nr 9772792

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest romb ABCD , którego bok i przekątna są zawarte w prostych o równaniach y − x − 1 = 0 i y − 3x + 1 = 0 odpowiednio. Promień okręgu wpisanego w romb ABCD jest równy 2 √ 2- , a środek tego okręgu leży poniżej osi . Oblicz współrzędne punktu styczności okręgu wpisanego w romb ABCD z jego bokiem .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Na rozgrzewkę możemy wyznaczyć współrzędne punktu – jest to punkt wspólny dwóch podanych prostych

{ y = x+ 1 y = 3x − 1

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

0 = 2x − 2 ⇒ x = 1.

Stąd y = x + 1 = 2 i C = (1 ,2) .

Zastanówmy się co dalej. Cała sytuacja byłaby bardzo prosta, gdybyśmy mieli środek symetrii rombu – bo wtedy bylibyśmy w stanie odtworzyć cały romb. Wiemy, że punkt leży na prostej , więc ma współrzędne postaci S = (x ,3x − 1) . Znamy też jego odległość od prostej – jest to po prostu promień okręgu wpisanego w romb. Otrzymujemy więc równanie

d(S,CD ) = 2√ 2-= |3x-−√-1−-x-−--1| / ⋅√ 2- 1 + 1 4 = |2x− 2| / : 2 − 2 = x − 1 lub 2 = x − 1 − 1 = x lub 3 = x .

Zauważmy, że jeżeli x = 3 , to wtedy y = 3x− 1 = 8 i punkt leżałby powyżej osi , co jest sprzeczne z założeniem. Zatem x = − 1 , y = 3x − 1 = −4 i S = (− 1,− 4) .

Teraz sprawa jest dość prosta – punkt jest środkiem odcinka , więc

A + C S = ------- ⇒ A = 2S − C = (− 2,− 8)− (1 ,2) = (− 3,− 10). 2

Przekątna jest prostopadła do , więc ma równanie postaci y = − 1x + b 3 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

1- 13- − 4 = 3 + b ⇒ b = − 3 .

Przekątna ma więc równanie y = − 1x − 13 3 3 . Wyznaczmy jej punkt wspólny z daną prostą .

{ y = x + 1 1 13 y = − 3x − 3-

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

0 = x + 1x + 1 + 13- 3 3 16 4 − ---= -x ⇒ x = − 4. 3 3

Stąd y = x + 1 = − 3 i D = (− 4,− 3) . Punkt jest środkiem odcinka , więc

B + D S = ------- ⇒ B = 2S − D = (− 2,− 8) − (− 4,− 3) = (2,− 5). 2

Możemy w końcu napisać równanie prostej – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i

{ − 5 = 2a+ b 2 = a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy a = − 7 . Stąd b = 2− a = 9 i prosta ma równanie y = − 7x + 9 . Nasze zadanie sprowadza się do wyznaczenia na tej prostej punktu wspólnego z okręgiem wpisanym w romb. Można to zrobić na różne sposoby, ale chyba najszybsza droga to wyznaczyć jako punkt wspólny prostej i prostej , która jest prostopadła do i przechodzi przez punkt . Szukamy więc prostej w postaci y = 1x + b 7 i podstawiamy współrzędne punktu .