/Szkoła średnia/Ciągi/Rekurencyjny/Własności wyrazów ciągu

Zadanie nr 5276662

Dany jest ciąg określony rekurencyjnie

{ a1 = 2 an+ 1 = 3n − an + 3.

Wyznacz liczby całkowite x,y tak, aby ciąg (a ,a + x,a + 2y) 7 2 4 był ciągiem arytmetycznym, natomiast ciąg (a1,4x − a2,3a6 − y) był ciągiem geometrycznym.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Obliczmy kilka kolejnych wyrazów ciągu (an) .

a = 3− a + 3 = 6 − a = 4 2 1 1 a3 = 6− a2 + 3 = 9 − a2 = 5 a = 9− a + 3 = 12 − a = 7 4 3 3 a5 = 12 − a4 + 3 = 15 − a4 = 8 a6 = 15 − a3 + 3 = 18 − a5 = 1 0 a7 = 18 − a6 + 3 = 21 − a6 = 1 1.

Pytanie zatem brzmi: kiedy ciąg (11,4 + x,7 + 2y ) jest arytmetyczny, i kiedy ciąg (2,4x − 4,30− y) jest geometryczny. Mamy zatem układ równań

{ 2(4 + x ) = 11+ 7+ 2y 2 (4x − 4 ) = 2(30− y) { 2x = 10 + 2y / : 2 16x 2 − 3 2x+ 16 = 60 − 2y / : 2 { x = 5+ y / : 2 8x 2 − 16x − 22+ y = 0

Podstawiamy teraz y = x − 5 z pierwszego równania do drugiego.

2 8x − 16x − 22 + x − 5 = 0 8x 2 − 15x − 27 = 0 2 Δ = 22 5+ 8 64 = 1089 = 33 15 − 33 18 9 15 + 33 x = --------= − ---= − -- ∨ x = --------= 3. 16 16 8 16

Ponieważ x ma być liczbą całkowitą, mamy x = 3 . Stąd y = x − 5 = − 2 .  
Odpowiedź: (x,y ) = (3,− 2)

Wersja PDF