Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5460756

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , określony jest następująco:

( |{ a1 = 2 a2 = k |( an+2 3 = 3an dla n ≥ 1.
  • Wyznacz wartość k , jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym, w którym suma sześciu początkowych wyrazów jest równa − 3 64 .
  • Oblicz, dla jakiej liczby n suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 9842.
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Jeżeli ciąg (an) ma być geometryczny, to an+ 2 = an+1q = anq2 , gdzie przez q oznaczyliśmy jego iloraz. Mamy wtedy
    an+2-= 3a 3 n a q2 -n---= 3an. 3

    Ponieważ a1 > 0 , żaden wyraz ciągu (an) nie może być równy 0, więc mamy stąd

     2 q = 9 ⇐ ⇒ q = ± 3.

    Zauważmy teraz, że dla q = 3 otrzymujemy ciąg o wyrazach dodatnich, w którym suma wyrazów nie może być liczbą ujemną. Zatem q = − 3 i wtedy k = a 1q = − 6 . Wtedy rzeczywiście

     n 6 1-−-q-- 1−--(−-3)- S6 = a 1 ⋅ 1− q = 2⋅ 1 + 3 = − 364 .

     
    Odpowiedź: k = − 6

  • Musimy rozwiązać równanie
     n n 98 42 = S = a ⋅ 1−-q---= 2 ⋅ 1-−-(−-3)- / ⋅2 n 1 1 − q 1+ 3 n 19 684 = 1 − (− 3) (− 3)n = − 19683 = (− 3)9.

    Zatem n = 9 .  
    Odpowiedź: n = 9

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!