/Szkoła średnia/Ciągi/Rekurencyjny/Własności wyrazów ciągu

Zadanie nr 8715257

Dany jest ciąg (an) określony dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1 , w którym a4 = 4 oraz dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwa jest równość an+ 1 = an + n − 4 . Oblicz pierwszy wyraz ciągu (an ) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy daną zależność rekurencyjną w postaci

an = an+ 1 − n+ 4

to widać jak obliczyć pierwsze wyrazy ciągu (an) .

a3 = a 4 − 3 + 4 = 4− 3+ 4 = 5 a2 = a 3 − 2 + 4 = 5− 2+ 4 = 7 a1 = a 2 − 1 + 4 = 7− 1+ 4 = 10.

Jeżeli natomiast zapiszemy daną rekurencję w postaci

an+ 1 − an = n− 4

to widać, że ciąg nie jest malejący, bo np.

a6 − a5 = 1 > 0 ⇒ a6 > a5.

 
Odpowiedź: a1 = 1 0 , nie jest malejący.

Wersja PDF