Zadanie nr 3850927
Dana jest rodzina funkcji kwadratowych zmiennej rzeczywistej , opisana wzorem
, gdzie
jest liczbą rzeczywistą.
- Dla
wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja
przyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa
.
- Wyznacz liczbę
, dla której zbiorem wartości funkcji
jest przedział
.
- Dla
napisz wzór funkcji
w postaci kanonicznej i narysuj jej wykres.
Rozwiązanie
- Zapiszmy wzór funkcji
dla
Szukamy argumentów dla których funkcja
jest większa od
, czyli rozwiązujemy nierówność
Odpowiedź: - Zauważmy, że dla każdego
wykres funkcji
jest parabolą z ramionami skierowanymi w dół. Zatem zbiór wartości funkcji
to przedział
, gdzie
jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji
. Szukamy wartości
, dla której
. Tak będzie, gdy
Odpowiedź:lub
- Zapiszmy wzór funkcji
dla
Postać kanoniczną wyznaczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka
Teraz możemy już zapisać w postaci kanonicznej
Sposób II
Przekształcamy wzór funkcji
do postaci kanonicznej (zwijamy do kwadratu).
Na koniec rysujemy wykres funkcji
– jest to parabola
przesunięta o 4 jednostki w prawo i dwie do góry.
Odpowiedź: