Zadanie nr 1228109

Uprość wyrażenie

3∘ -√------- ∘3--√------ 5 2 + 7 − 5 2− 7.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy

3∘ -√------- ∘3--√------ x = 5 2 + 7, y = 5 2− 7 a = x− y.

Korzystając ze wzoru

3 3 2 2 3 (x − y ) = x − 3x y + 3xy − y

obliczymy . Zanim to jednak zrobimy zauważmy, że

( ∘ -√-------) (∘ -√------) ∘ --√---------- xy = 35 2 + 7 3 5 2 − 7 = 3(5 2)2 − 7 2 = 1.

Liczymy :

3 3 3 2 2 3 3 3 a = (x√− y-) = x − √3x-y + 3xy − y = x − 3x + 3y − y = = (5 2+ 7 )− (5 2− 7 )− 3 (x− y) = 14 − 3a 3 a = 1 4− 3a .

Widzimy zatem, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu

3 W (x ) = x + 3x − 14.

Łatwo sprawdzić, że x = 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Aby sprawdzić czy są też inne pierwiastki dzielimy ten wielomian przez (x − 2) .

3 3 2 2 x + 3x − 14 = (x − 2x )+ (2x − 4x) + (7x − 14) = = (x− 2)(x2 + 2x + 7).

Ponieważ czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków ( Δ < 0 ), x = 2 jest jedynym pierwiastkiem W (x) . Zatem a = 2 .

Sposób II

Tym razem zwiniemy wyrażenia pod pierwiastkami do pełnych sześcianów.

∘3 -√------- 3∘ -√------- 5 2+ 7− 5 2 − 7 = ∘ -√----------√------- ∘ -√----------√------- = 3 2 2+ 6+ 3 2 + 1− 3 2 2 − 6 + 3 2 − 1 = ∘ -√---------√--------√------- ∘ -√---------√--------√------- = 3 ( 2)3 + 3( 2)2 + 3 2+ 1− 3 ( 2)3 − 3( 2)2 + 3 2 − 1 = ∘ ----------- ∘ ----------- 3 √ -- 3 3 √ -- 3 √ -- √ -- = ( 2+ 1) − ( 2 − 1) = 2 + 1 − ( 2 − 1) = 2.

Jeżeli komuś podobają się tego typu wzorki, to polecam lekturę poradnika o wzorach Cardano.
Odpowiedź: 2