Zadanie nr 2018612

Oblicz ∘ -----√--- √ --1 6− 3 3⋅ (63+ 36 3)4 .

Rozwiązanie

Sposób I

Liczymy

∘ --------- √ -- √ -- 1 √ --1 √ -- 1 6 − 3 3 ⋅(63 + 36 3) 4 = (6− 3 3)2 ⋅(63 + 36 3) 4 = ( √ -- ) 1 √ --1 √ --1 √ -- 1 = (6 − 3 3 )2 4 ⋅(63+ 36 3)4 = (63− 36 3)4 ⋅(63 + 36 3) 4 = ( √ -- √ --) 14 2 1 1 = (63 − 36 3)(63 + 36 3) = (63 − 129 6⋅3) 4 = 814 = 3.

Sposób II

Tym razem wyłączmy najpierw z drugiego nawiasu 9, a z pierwszego 3.

∘ --------- ∘ ----------- √ -- √ -- 1 √ -- √ -- 1 6 − 3 3 ⋅(63 + 36 3 )4 = 3(2 − 3) ⋅(9(7 + 4 3)) 4 = √ -- 1( √ -- ) 1 √ --1 = 3 ⋅94 (2− 3)2 4 (7 + 4 3)4 = √ -- √ -- √ -- √ -- = 3 ⋅ 3(4− 4 3 + 3)14(7 + 4 3 )14 = ( ) 1 = 3 (7− 4√ 3)(7 + 4√ 3) 4 = 3(49 − 4 8)14 = 3.

Sposób III

Zauważmy, że

√ -- √ -- √ -- 6 3+ 36 3 = 36 + 2 ⋅18 3 + 27 = (6+ 3 3)2.

Zatem

∘ --------- ∘ ----------- ∘ --------- ∘ --------- √ -- 4 √ -- √ -- √ -- 6 − 3---3⋅---63+--36--3-= 6− 3 3⋅ 6 + 3 3 = ∘ √ -- √ -- √ -------- √ -- = (6− 3 3)(6+ 3 3) = 36 − 2 7 = 9 = 3.

Odpowiedź: 3