Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3272421

Oblicz ∘ -∘--√------ 2 2 2 ... .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Będziemy postępować podobnie jak przy zwijaniu ułamków okresowych do ułamków zwykłych.

Liczymy

 ∘ ------------ ∘ √ ----- a = 2 2 2... / ()2 ∘ --∘--------- 2 √ ----- a = 2 2 2 2 ...= 2a a(a− 2) = 0 ⇒ a = 2.

Wybraliśmy dodatni pierwiastek, bo

∘ -∘---------- ∘ -∘---------- 2 2 √ 2...> 1 1√ 1... = 1 > 0.

Na koniec może warto się zastanowić, co zapis ∘ -∘---√------ 2 2 2... w ogóle oznacza? Myśleć o tym należy podobnie jak o nieskończonym ułamku dziesiętnym: jest to granica pewnego ciągu. Dokładniej mówiąc, definiujemy ciąg a1 = 2 ,  √ ---- an+1 = 2an . Zapis powyżej to dokładnie granica tego ciągu. Dlaczego ona istnieje? To nie jest oczywiste, ale wynika z tego, że ciąg jest ograniczony z dołu przez 2 i malejący.  
Odpowiedź: 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!