Zadanie nr 4587533

Oblicz wartość wyrażenia (a3−b3)(a+b-) (a3+b3)(a−b ) dla √ -- a = 2 + 1 i √ -- b = 2− 1 .

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia

3 3 2 2 a + b = (a + b)(a − ab + b ) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

Mamy więc

(a3 − b3)(a + b) (a− b)(a2 + ab+ b2)(a+ b ) a2 + ab + b2 --3----3-------- = ---------2---------2--------= -2---------2. (a + b )(a − b) (a+ b)(a − ab+ b )(a− b ) a − ab + b

Sposób I

Podstawiamy w otrzymanym wyrażeniu podane liczby.

√ -- 2 √ -- √ -- √ -- 2 (√-2+--1)-+--(√-2+--1)(√-2−--1)+--(√-2−--1)-= ( 2+ 1)2 − ( 2+ 1)( 2− 1)+ ( 2− 1)2 √ -- √ -- = 2-+-2√-2-+-1-+-2-−-1+--2−--2√-2-+-1-= 7. 2 + 2 2 + 1 − 2 + 1+ 2− 2 2 + 1 5

Sposób II

Zauważmy, że

2 2 2 a + ab + b = (a + b) − ab = = (2√ 2)2 − (√ 2-+ 1)(√ 2-− 1) = 8− (2 − 1 ) = 7 a2 − ab + b2 = (a − b)2 + ab = 2 √ -- √ -- = 2 + ( 2 + 1)( 2 − 1) = 4 + (2 − 1) = 5.

Zatem

a2 + ab + b2 7 -2---------2 = -. a − ab + b 5

Odpowiedź: 7 5