Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Tożsamości trygonometryczne

Bogactwo tożsamości trygonometrycznych jest niewątpliwie źródłem frustracji niejednego ucznia – trzeba dużo wprawy, żeby sprawnie się nimi posługiwać. Z drugiej strony, dzięki tym tożsamościom świat trygonometrii jest niezwykle ciekawy. Jedynka trygonometryczna Najpopularniejszą tożsamością trygonometryczną jest jedynka trygonometryczna

 2 2 sin α + cos α = 1

Jedynkę musi znać każdy i należy myśleć, że pozwala ona zamieniać sin 2α na cos2 α i odwrotnie.

Zbadajmy zbiór wartości funkcji f(x) = 3 sin2x + 5 cos2x .
Z jedynki trygonometrycznej mamy

f(x ) = 3(1− cos2x )+ 5 cos2 x = 3 + 2co s2x.

Korzystając teraz z nierówności 0 ≤ cos2x ≤ 1 łatwo uzasadnić, że zbiór wartości f(x) to przedział ⟨3,5⟩ .

Wzory redukcyjne Jest wiele wzorów redukcyjnych i dokładnie omówiliśmy je w poradniku o wzorach redukcyjnych. Najważniejsze z nich to

 ( ) ( ) sin π-− x = cosx cos π-− x = sin x ( 2 ) ( 2 ) π- π- sin 2 + x = cosx cos 2 + x = − sin x sin(π − x) = sin x cos(π − x) = − co sx sin(π + x) = − sin x cos(π + x) = − co sx.

oraz

 ( ) ( ) π- π- tg 2 − x = ctgx ctg 2 − x = tgx (π ) (π ) tg -2 + x = − ctg x ctg -2 + x = − tg x tg (π − x) = − tgx ctg (π − x ) = − ctgx tg (π + x) = tg x ctg (π + x ) = ctg x.

Wzory te pozwalają przesuwać argument funkcji trygonometrycznych o wielokrotność π- 2 . Ponadto wzory z π- 2 pozwalają zamieniać funkcję sinus/tangens na cosinus/cotangens i odwrotnie.

Obliczmy  ( ) tg − 411π 4 .
Liczymy

 ( 411π ) 411π ( 3π ) tg − ------ = − tg ------= − tg 102π + --- = (4 ) 4 4 3π- ( π- π-) π- = − tg 4 = − tg 2 + 4 = ctg 4 = 1.

Rozwiążmy nierówność  ( π- ) (π- ) cos 4 + x sin 4 − x ≥ 1 .
Przekształcamy lewą stronę.

 ( π ) (π ( π )) co s --+ x sin -- − --+ x = 4( π ) 2 ( π 4 ) ( π ) = co s --+ x ⋅c os --+ x = co s2 --+ x . 4 4 4

Mamy zatem

 (π ) ( π ) cos2 -- + x ≥ 1 ⇐ ⇒ cos2 --+ x = 1 4 ( ) 4 ⇐ ⇒ co s π-+ x = ± 1 ⇐ ⇒ π-+ x = kπ ⇐ ⇒ x = − π-+ kπ . 4 4 4

Podwojenie kąta Mamy dwa niezwykle użyteczne wzorki

 2 2 sin 2x = 2sin xco sx cos2x = cos x − sin x.

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, drugi z tych wzorów możemy zapisać w postaci

co s2x = 2cos2 x− 1 = 1 − 2sin2 x.

Wzory te bardzo często występują w zadaniach szkolnych, więc warto wyrobić sobie nawyk, że jak widzimy prawą stronę któregoś z tych wzorów, to dzwoni nam dzwoneczek sin 2x / cos 2x .

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji f(x ) = sin 3x cos 3x .
Ze wzoru na sin2x mamy

 1 f (x) = sin3x cos 3x = -sin 6x. 2

A więc zbiór wartości funkcji f to przedział  1 1 ⟨− 2,2⟩ (bo zbiór wartości sin 6x to przedział ⟨− 1,1⟩ ).

Rozwiążmy równanie sin 2x = co s2x .
Ze wzoru na cos 2x , możemy równanie przekształcić następująco

co s2x − sin2x = 0 co s2x = 0 π π kπ 2x = --+ kπ ⇐ ⇒ x = -- + ---, k ∈ C. 2 4 2

Sumy i różnice kątów Wzory trochę ogólniejsze od wzorów na sinus/cosinus podwojonego kąta:

sin (x + y) = sin xcos y+ sin y cosx sin (x − y) = sin xcos y− sin y cosx cos(x + y) = co sx cosy − sin xsin y cos(x − y) = co sx cosy + sin xsin y.

W zasadzie wystarczy pamiętać tylko pierwszy i trzeci z tych wzorów, dwa pozostałe dostajemy wstawiając do nich − y zamiast y .

Oczywiste zastosowanie tych wzorów to możliwość obliczenia funkcji trygonometrycznych kąta x + y jeżeli znamy funkcje kątów x i y .

Obliczmy sin75 ∘ .
Liczymy

sin 75∘ = sin (30∘ + 45∘) = sin 30∘co s45∘ + sin45 ∘cos 30∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- = 1-⋅--2-+ ---2⋅ --3-= --2+----6. 2 2 2 2 4

Uzasadnij, że jeżeli cosx = 0 to sin (x+ y) = sin(x − y) .
Na mocy powyższych wzorów mamy

sin (x+ y) = sin xcos y+ sin y cosx = sin x cosy sin (x− y) = sin xcos y− sin y cosx = sin x cosy = sin (x+ y).

Sumy i różnice funkcji Ostatnia seria wzorków to wzory na sumy i różnice sinusów/cosinusów.

 x + y x − y sinx + sin y = 2 sin ------cos ------ 2 2 sinx − sin y = 2 sin x-−-y-cos x-+-y- 2 2 x-+-y- x-−-y- cos x+ cosy = 2co s 2 cos 2 x+ y x − y cos x− cosy = − 2sin ------sin ------. 2 2

Wzory te są bardzo użyteczne w równaniach i nierównościach, gdyż pozwalają zamieniać równania typu suma równa 0, na równania typu iloczyn równy 0, a te drugie rozwiązuje się o wiele łatwiej.

Rozwiążmy równanie cos4x − cos2x = 0 .
Z wzoru na różnicę cosinusów mamy

− 2 sin 3x sinx = 0.

Czyli 3x = kπ lub x = kπ . Stąd x = kπ- 3 , k ∈ C .

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.