/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 3799561

Wykaż, że jeżeli a > 1 , to a4+a2+-1 a3−1 2 ≥ a2−1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

4 2 3 a--+-a--+-1 ≥ a-−--1 / ⋅2(a 2 − 1) 2 a2 − 1 (a4 + a2 + 1)(a2 − 1) ≥ 2a3 − 2 6 4 2 4 2 3 a + a + a − a − a − 1 ≥ 2a − 2 a6 − 2a3 + 1 ≥ 0 (a3 − 1)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność również musi być prawdziwa.

Wersja PDF