/Szkoła średnia/Nierówności

Zadanie nr 9105280

Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x + y = 4 i nierówność

x3 − x2y ≤ xy 2 − y 3.

Wykaż, że x = 2 oraz y = 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

3 2 2 3 x − x y ≤ xy − y x2(x − y) − y2(x − y ) ≤ 0 2 2 (x − y)(x − y ) ≤ 0 (x − y)2(x + y) ≤ 0.

Zauważmy, że z założenia x + y = 4 > 0 , więc powyższa nierówność jest równoważna nierówności

2 (x − y ) ≤ 0,

która z kolei oznacza, że x = y . Mamy wtedy

4 = x + y = 2x ⇒ x = 2

i y = 4 − x = 2 .

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x3 + y3 − x2y − xy2 ≤ 0 (x+ y)(x2 − xy + y2) − xy (x+ y) ≤ 0 2 2 (x+ y)(x − xy + y − xy ) ≤ 0 4(x − y)2 ≤ 0.

Otrzymana nierówność oznacza, że x = y . W połączeniu z warunkiem x + y = 2 otrzymujemy x = y = 2 .

Sposób III

Podstawiamy w danej nierówności y = 4 − x .

x 3 − x 2(4 − x ) ≤ x(4 − x)2 − (4 − x)3 3 2 3 2 2 3 x − 4x + x ≤ x(16 − 8x + x )− (64 − 4 8x+ 12x − x ) 16x2 − 64x + 6 4 ≤ 0 / : 16 x 2 − 4x + 4 ≤ 0 2 (x− 2) ≤ 0.

To oczywiście oznacza, że x = 2 i y = 4− x = 2 .

Wersja PDF