Zadanie nr 1893405

Pole trójkąta ABC o danych wierzchołkach A = (1,− 2) oraz B = (2,3) jest równe 4,5. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka wiedząc, że należy on do prostej o równaniu x + y − 2 = 0 .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Z podanej informacji o równaniu prostej, na której leży punkt wiemy, że ma on współrzędne postaci C = (x ,−x + 2 ) .

Sposób I

Korzystamy teraz ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA,yA ) , B = (xB,yB ) i C = (xC ,yC) .

P = 1-|(x − x )(y − y ) − (y − y )(x − x )|. ABC 2 B A C A B A C A

W naszej sytuacji mamy

9 1 --= -|(2− 1)(−x + 2+ 2)− (3 + 2 )(x− 1)| 2 2 9- 1- 2 = 2|− x + 4 − 5 (x− 1)| / ⋅2 9 = |− 6x + 9| 9 = − 6x + 9 ∨ − 9 = − 6x + 9 6x = 0 ∨ 6x = 18 x = 0 ∨ x = 3.

Zatem C = (0,2) lub C = (3,− 1) .

Sposób II

Tym razem obliczmy pole trójkąta wprost, ze wzoru 1 P = 2ah . Liczymy długość podstawy trójkąta

∘ ------------------- √ ------- √ --- |AB | = (2 − 1)2 + (3+ 2)2 = 1 + 25 = 2 6.

To pozwala obliczyć długość wysokości trójkąta ABC opuszczonej na bok .

9 1 √ --- 9 2-= 2-⋅ 2 6⋅h ⇒ h = √----. 2 6

Teraz będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej. Zanim to jednak zrobimy, napiszmy równanie prostej . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA) i B = (xB,yB ) :

y − y = yB-−--yA(x − x ). A xB − xA A

W naszej sytuacji mamy

y + 2 = 3-+-2(x − 1) 2 − 1 y + 2 = 5x − 5 5x − y− 7 = 0.

Wiemy, że punkt C = (x,−x + 2) leży w odległości h = √9-- 26 od prostej . Zapiszmy ten warunek korzystając ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y 0) od prostej ax + by + c = 0 :