Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2770019

W trójkącie ABC o polu 20 dane sa współrzędne dwóch wierzchołków: A = (− 7,− 1) , B = (1,3) oraz środek S = (− 2,− 1) okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznacz współrzędne wierzchołka C .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Zacznijmy od obliczenia rzeczy oczywistych: promienia r okręgu opisanego na trójkącie ABC

 ∘ ----------------------- √ --- r = AS = (− 2 + 7)2 + (− 1+ 1)2 = 25 = 5

i długości odcinka AB

 ∘ ------------------- √ -------- √ --- √ -- AB = (1+ 7)2 + (3+ 1)2 = 64 + 16 = 80 = 4 5.

W szczególności, okrąg opisany na trójkącie ABC ma równanie

(x + 2)2 + (y + 1)2 = 25,

a wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok AB ma długość

 2PABC-- 2-⋅20- 10-- √ -- h = AB = √ --= √ --= 2 5. 4 5 5

Napiszmy jeszcze równanie prostej AB . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ −1 = − 7a+ b 3 = a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 4 = 8a , czyli a = 1 2 . Stąd  5 b = 3− a = 2 i prosta AB ma równanie

 1 5 y = -x + -- / ⋅2 2 2 2y − x − 5 = 0 .

Szukamy teraz punktu C = (x,y ) , którego odległość od prostej AB jest równa h = 2√ 5- i który leży na danym okręgu. Zapiszmy najpierw warunek odległości od prostej AB

 √ -- |2y − x − 5 | |2y− x − 5| √ -- 2 5 = --√---------= ----√------- / ⋅ 5 4+ 1 5 10 = |2y − x − 5| 10 = 2y − x − 5 lub − 10 = 2y − x − 5 0 = 2y − x − 15 lub 0 = 2y − x + 5.

Otrzymane równania to równania dwóch prostych równoległych do prostych AB i odległych od niej o  √ -- 2 5 . Pozostało wyznaczyć punkty wspólne tych prostych z danym okręgiem. Jeżeli zrobiliśmy dość dokładny rysunek, to można zauważyć, że pierwsza z nich nie przecina okręgu. Można to sprawdzić rozwiązując odpowiednie równanie, ale można też sprawdzić, że odległość środka okręgu S = (− 2,− 1) od tej prostej

|− 2 + 2 − 15| 15 √ -- ---√-----------= √---= 3 5 4 + 1 5

jest większa od promienia r = 5 okręgu.

Pozostało znaleźć punkty wspólne drugiej prostej i okręgu. Podstawiamy x = 2y+ 5 do równania okręgu.

25 = (2y + 5 + 2)2 + (y + 1)2 = (2y + 7)2 + (y + 1)2 = 2 2 2 = 4y + 28y + 4 9+ y + 2y + 1 = 5y + 30y + 50 / : 5 0 = y2 + 6y + 5 Δ = 36 − 20 = 16 − 6 − 4 − 6 + 4 y = ------- = − 5 lub y = ------- = − 1. 2 2

Stąd x = 2y + 5 = − 5 i x = 2y + 5 = 3 odpowiednio. Zatem C = (− 5,− 5) lub C = (3,− 1) .  
Odpowiedź: C = (− 5,− 5) lub C = (3,− 1)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!