/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Wyliczanie wierzchołków

Zadanie nr 3482505

Znając współrzędne wierzchołków trójkąta ABC , A = (− 4,3 ) , B = (4 ,−1 ) oraz punkt przecięcia się jego wysokości P = (3,3) wyznacz współrzędne wierzchołka C .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jak zwykle zaczynamy od schamtycznego rysunku.

PIC

To co widać od razu, to że łatwo jest napisać równanie wysokości CP – jest to prosta prostopadła do AB i przechodząca przez P . Najprościej jest skorzystać ze wzoru na prostą prostopadłą do wektora → v = [a,b] i przechodzącą przez punkt P = (x 0,y 0)

a(x − x0) + b(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy → → v = AB = [8,− 4] . Zatem równanie prostej CP

8(x − 3) − 4(y − 3) = 0 2(x − 3) − (y − 3) = 0 2x − y − 3 = 0.

Podobnie możemy napisać równanie boku AC – jest to prosta prostopadła do wektora → BP = [− 1,4] i przechodząca przez punkt A = (− 4,3) .

− 1(x+ 4)+ 4(y− 3) = 0 − x+ 4y− 16 = 0.

Pozostało znaleźć punkt wspólny prostych CP i AC (od razu podstawiamy za x z drugiego do pierwszego równania)

2(4y− 16) − y − 3 = 0 8y− 32− y− 3 = 0 7y = 35 y = 5.

Stąd x = 4 .  
Odpowiedź: C = (4,5)

Wersja PDF