Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4626381

Punkty A = (− 1,6) i B = (3,− 2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Wiedząc, że punkt przecięcia się wysokości tego trójkąta ma współrzędne M = (0,− 1) oblicz współrzędne wierzchołka C .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Jak wyliczyć współrzędne wierzchołka C ? Widać, że w miarę łatwo można napisać równanie wysokości CM : jest prostopadła do AB i przechodzi przez M . Podobnie, możemy napisać równanie jednego z boków, powiedzmy CA : jest on prostopadły do BM i przechodzi przez A . Punkt wspólny tych dwóch prostych to punkt C .

Sposób I

Zadanie jest dość proste jeżeli skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p ,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y 0) :

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

Najpierw piszemy równanie wysokości CM : mamy  → →v = AB = [4,− 8] i punkt M = (0 ,−1 ) .

4(x − 0)− 8(y + 1) = 0 / : 4 x− 2y − 2 = 0.

Teraz piszemy równanie prostej CA : mamy → → v = BM = [− 3,1] i punkt A = (− 1,6) .

− 3(x+ 1)+ 1(y− 6) = 0 − 3x− 3+ y− 6 = 0 − 3x+ y− 9 = 0.

Szukamy teraz punktu wspólnego otrzymanych prostych, czyli rozwiązujemy układ równań

{ x− 2y− 2 = 0 −3x + y− 9 = 0

Dodając do drugiego równania 3 razy pierwsze (żeby skrócić x ) mamy − 5y − 15 = 0 , czyli y = − 3 . Z pierwszego równania mamy x = 2y + 2 = − 4 . Zatem C = (− 4,− 3) .

Sposób II

Jeżeli nie chcemy używać wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt, to musimy się odrobinę bardziej namęczyć. Zacznijmy od napisania prostej AB . Można to zrobić ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my będziemy wszystko robić wprost. Szukamy prostej y = ax + b spełniającej

{ 6 = −a + b − 2 = 3a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy − 8 = 4a , czyli a = − 2 . I tak naprawdę to nam wystarczy, bo jest nam potrzebny tylko kierunek prostej AB , współczynnik b nie ma znaczenia.

Szukamy teraz prostej CM , czyli prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez M . Jest ona postaci  1 y = 2x + b (bo jest prostopadła do AB ). Współczynnik b wyznaczamy wstawiając punkt M .

− 1 = 0+ b ⇒ b = − 1.

Zatem  1 CM : y = 2x − 1 .

Teraz zajmijmy się prostą BM . Szukamy y = ax + b tak, aby

{ − 2 = 3a + b − 1 = b.

Wstawiając b = − 1 do pierwszego równania mamy

 1 − 2 = 3a− 1 ⇒ a = − --. 3

Zatem prosta AC będzie miała współczynnik 3, czyli będzie postaci y = 3x+ b . Współczynnik b wyznaczamy wstawiając punkt A .

6 = −3 + b ⇒ b = 9.

Pozostało znaleźć punkt wspólny prostych CM i AC .

{ 1 y = 2x − 1 y = 3x+ 9.

Porównując y -ki mamy

1- 2x − 1 = 3x + 9 5 − 10 = -x ⇒ x = − 4. 2

Wtedy  1 y = 2x − 1 = − 3 .  
Odpowiedź: C = (− 4,− 3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!