Zadanie nr 7302070

Wierzchołek trójkąta ostrokątnego ABC ma współrzędne (2;7) . Prosta o równaniu 2x+ y− 1 = 0 jest symetralną wysokości , a prosta o równaniu x + 3y − 8 = 0 zawiera środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka . Oblicz współrzędne punktów A ,B,D .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Po pierwsze zauważmy, że punkt przecięcia się danych prostych, to dokładnie środek boku szukanego trójkąta (bo środek boku leży na każdej z opisanych prostych). Wyliczmy jego współrzędne (wstawiamy -a z drugiego równania do pierwszego).

2(− 3y + 8 )+ y − 1 = 0 − 5y + 15 = 0 y = 3.

Zatem S = (− 1,3 ) . Teraz łatwo wyliczyć współrzędne punktu B = (x,y )

( ) x + 2 y+ 7 S = (− 1,3) = --2---,--2--- ⇒ B = (− 4,− 1).

Wiemy, że prosta 2x+ y− 1 = 0 jest prostopadła do wysokości opuszczonej na bok , jest ona więc równoległa do tego boku. Napiszemy teraz równanie prostej równoległej do tej prostej i przechodzącej przez punkt (będzie to więc prosta ). Otrzymaną prostą przetniemy z podaną środkową i w ten sposób otrzymamy punkt .

Liczymy, prosta jest postaci 2x + y + b = 0 , wyliczamy z faktu, że należy do niej punkt .

− 8 − 1 + b = 0 ⇒ b = 9.

Szukamy teraz punktu , czyli punktu przecięcia sie prostych 2x + y + 9 = 0 i x+ 3y− 8 = 0 . Od razu podstawiamy za z drugiego równania do pierwszego.

2(− 3y + 8 )+ y + 9 = 0 − 5y + 25 = 0 y = 5.

Stąd A = (− 7,5) .

Aby wyliczyć współrzędne punktu , napiszmy równanie prostej prostopadłej do i przechodzącej przez punkt . Najprościej jest skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)