Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7302070

Wierzchołek C trójkąta ostrokątnego ABC ma współrzędne (2;7) . Prosta o równaniu 2x+ y− 1 = 0 jest symetralną wysokości CD , a prosta o równaniu x + 3y − 8 = 0 zawiera środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A . Oblicz współrzędne punktów A ,B,D .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Po pierwsze zauważmy, że punkt S przecięcia się danych prostych, to dokładnie środek boku BC szukanego trójkąta (bo środek boku leży na każdej z opisanych prostych). Wyliczmy jego współrzędne (wstawiamy x -a z drugiego równania do pierwszego).

2(− 3y + 8 )+ y − 1 = 0 − 5y + 15 = 0 y = 3.

Zatem S = (− 1,3 ) . Teraz łatwo wyliczyć współrzędne punktu B = (x,y )

 ( ) x + 2 y+ 7 S = (− 1,3) = --2---,--2--- ⇒ B = (− 4,− 1).

Wiemy, że prosta 2x+ y− 1 = 0 jest prostopadła do wysokości opuszczonej na bok AB , jest ona więc równoległa do tego boku. Napiszemy teraz równanie prostej równoległej do tej prostej i przechodzącej przez punkt B (będzie to więc prosta AB ). Otrzymaną prostą przetniemy z podaną środkową AS i w ten sposób otrzymamy punkt A .

Liczymy, prosta AB jest postaci 2x + y + b = 0 , b wyliczamy z faktu, że należy do niej punkt B .

− 8 − 1 + b = 0 ⇒ b = 9.

Szukamy teraz punktu A , czyli punktu przecięcia sie prostych 2x + y + 9 = 0 i x+ 3y− 8 = 0 . Od razu podstawiamy za x z drugiego równania do pierwszego.

2(− 3y + 8 )+ y + 9 = 0 − 5y + 25 = 0 y = 5.

Stąd A = (− 7,5) .

Aby wyliczyć współrzędne punktu D , napiszmy równanie prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez punkt C . Najprościej jest skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)

p(x − x 0)+ q(y − y 0) = 0

W naszej sytuacji → → v = AB = [3,− 6] i C = (2,7) Prosta CD ma więc równanie

3(x − 2) − 6(y − 7) = 0 ⇒ x− 2y + 12 = 0.

Pozostało znaleźć jej punkt wspólny z prostą AB : 2x + y + 9 = 0 . Od razu podstawiamy za x = 2y − 12 w równaniu prostej AB .

2(2y− 12) + y + 9 = 0 5y− 15 = 0 y = 3.

Stąd D = (− 6,3) .  
Odpowiedź: A = (− 7,5) , B = (− 4,− 1) , D = (− 6,3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!