Zadanie nr 9105212
Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta jeżeli środki jego boków mają współrzędne: .
Rozwiązanie
Powiedzmy, że punkty są odpowiednio środkami boków
trójkąta
.
Sposób I
Jeżeli oznaczymy szukane punkty przez to ze wzoru na współrzędne środka odcinka mamy układ równań

Daje to nam dwa układy

Rozwiązujemy te układy. Z pierwszych równań mamy oraz
. Podstawiamy te wyrażenia do trzecich równań i mamy układy

Dodając teraz równania stronami otrzymujemy oraz
. Stąd
i
oraz
.
Sposób II
Zadanie można też dość szybko rozwiązać używając wektorów.

Jeżeli naszkicujemy trójkąt z zaznaczonymi środkami boków to ponieważ odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do odpowiedniego boku oraz ma długość równą połowie długości tego boku, mamy
![−→ −→ −→ AP = PB = RQ = [1,− 3] −→ −→ RC = P Q = [− 6,1].](https://img.zadania.info/zad/9105212/HzadR16x.gif)
Równości te pozwalają wyliczyć współrzędne punktów .
![−→ AP = [1− xA,3 − yA ] = [1 ,− 3 ] ⇒ A = (0 ,6 ) −→ P B = [xB − 1,yB − 3] = [1,− 3] ⇒ B = (2,0) −→ RC = [x + 6,y − 7] = [− 6,1] ⇒ C = (− 12,8). C C](https://img.zadania.info/zad/9105212/HzadR18x.gif)
Na koniec obrazek dla ciekawskich.
Odpowiedź: