/Konkursy/Zadania/Liczby/Całkowite

Zadanie nr 3313795

Udowodnij, że różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych nie jest liczbą podzielną przez 5.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dwie kolejne liczby całkowite możemy oznaczyć przez n , n + 1 , dla pewnej liczby całkowitej n . Różnica sześcianów tych liczb jest równa

(n + 1)3 − n 3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 − n 3 = 3n2 + 3n + 1

(lub minus to wyrażenie jeżeli odejmiemy te liczby w odwrotnej kolejności). Wystarczy zatem udowodnić, że otrzymane wyrażenie nigdy nie dzieli się przez 5. Aby to uzasadnić, rozważamy pięć przypadków w zależności od reszty z dzielenia liczby n przez 5. Zanim jednak przejdziemy do tych przypadków, oznaczmy n = 5k+ r . Wtedy

2 2 3n + 3n + 1 = 3(5n + r) + 3(5n + r) + 1 = = 75n2 + 30nr + 3r 2 + 15n + 3r+ 1 = = 5(15n2 + 6nr + 3n )+ (3r2 + 3r + 1).

Wystarczy zatem sprawdzić, że dla r = 0,1 ,2 ,3,4 wyrażenie w drugim nawiasie nie dzieli się przez 5. Liczymy

r = 0 ⇒ 3r2 + 3r+ 1 = 1 r = 1 ⇒ 3r2 + 3r+ 1 = 7 2 r = 2 ⇒ 3r + 3r+ 1 = 19 r = 3 ⇒ 3r2 + 3r+ 1 = 37 2 r = 4 ⇒ 3r + 3r+ 1 = 61.
Wersja PDF