/Konkursy/Zadania/Liczby/Całkowite

Zadanie nr 6265321

Wykaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to 2 p przy dzieleniu przez 24 daje resztę 1.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Musimy pokazać, że

2 p − 1 = (p − 1)(p+ 1)

dzieli się przez 24, czyli, że dzieli się przez 8 i przez 3. Ponieważ p jest liczbą pierwszą większą od 3, więc nie dzieli się przez 3. Zatem przez 3 dzieli się jedna z liczb p − 1 lub p + 1 , czyli p2 − 1 dzieli się przez 3.

Pozostało wykazać, że 2 p − 1 dzieli się przez 8. Liczba p jest nieparzysta, więc jest postaci 4k + 1 lub 4k + 3 (bo nie może być postaci 4k + 2 ani 4k ). Zatem odpowiednio

2 2 2 2 p − 1 = (4k + 1) − 1 = 16k + 8k + 1 − 1 = 8 (2k + k) p 2 − 1 = (4k + 3)2 − 1 = 16k2 + 24k + 9 − 1 = 8(2k2 + 3k+ 1).

W obu przypadkach otrzymujemy liczbę podzielną przez 8.

Sposób II

Tak jak wyżej zauważamy, że liczba p nie dzieli się przez 2 ani przez 3. Zatem jest postaci 12k + r , gdzie r ∈ { 1,5,7,11} . Mamy zatem

p2 − 1 = (12k + r)2 − 1 = 14 4k2 + 24kr+ r2 − 1 .

Podstawiając za r liczby 1,5,7,11 łatwo sprawdzić, że w każdym przypadku r2 − 1 dzieli się przez 24.

Wersja PDF