/Konkursy/Zadania/Liczby/Całkowite

Zadanie nr 7715374

Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 5 n − n jest podzielna przez 30.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy pokazać, że liczba ta dzieli się przez 2,3 i 5.

Sposób I

Rozkładamy podane wyrażenie

n5 − n = n(n4 − 1) = n (n2 − 1)(n2 + 1) = n (n− 1)(n + 1)(n2 + 1).

Ponieważ n (n− 1)(n + 1) jest iloczynem trzech kolejnych liczb całkowitych, jedna z nich na pewno dzieli się przez 2 i jedna dzieli się przez 3. Pozostała do wykazania podzielność przez 5.

Jeżeli liczba n daje przy dzieleniu przez 5 resztę 0, 1 lub 4, to jedna z liczb w pierwszych trzech nawiasach dzieli się przez 5. Jeżeli natomiast n = 5k + 2 lub n = 5k+ 3 to

n2 = 25k2 + 20k + 4 ∨ n2 = 25k2 + 30k + 9

i liczba n2 + 1 dzieli się przez 5.

Sposób II

Robimy podobnie jak poprzednio, ale używamy odrobinę innego rozkładu.

5 4 2 2 2 n − n = n(n − 1) = n (n − 1)(n + 1) = n (n− 1)(n + 1)(n − 4 + 5) = = (n − 1 )n(n + 1)(n2 − 4) + 5(n − 1 )n (n + 1) = = (n − 1 )n(n + 1)(n − 2)(n + 2 )+ 5n (n − 1)(n + 1).

Pierwszy składnik jest iloczynem 5 kolejnych liczb całkowitych jest więc podzielny przez 2,3,5. Drugi w oczywisty sposób jest podzielny przez 5 i jako iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 2 i 3.

Wersja PDF