Zadanie nr 9491505

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie

Trzy kolejne liczby naturalne możemy oznaczyć przez n− 1,n,n + 1 . Zatem ich suma sześcianów jest równa

3 3 3 (n− 1) + n + (n+ 1) = = (n3 − 3n2 + 3n − 1) + n 3 + (n 3 + 3n 2 + 3n+ 1) = 3n 3 + 6n .

Sposób I

Ponieważ

3 2 3n + 6n = 3n (n + 2),

Wystarczy pokazać, że liczba n(n 2 + 2) dzieli się przez 3.

Jeżeli dzieli się przez 3, to koniec.

Jeżeli daje resztę 1 z dzielenia przez 3, czyli n = 3k + 1 to

n2 + 2 = (3k + 1)2 + 2 = 9k 2 + 6k + 3 ,

więc n2 + 2 dzieli się przez 3.

Jeżeli natomiast daje resztę 2 z dzielenia przez 3, czyli n = 3k + 2 to

n 2 + 2 = (3k+ 2)2 + 2 = 9k2 + 12k + 6,

więc tak jak poprzednio, n 2 + 2 dzieli się przez 3.

Sposób II

Ponieważ

3n3 + 6n = 9n3− (6n3− 6n) = 9n 3− 6n (n2− 1) = 9n3 − 6(n − 1)n(n + 1 ),

wystarczy pokazać, że (n − 1)n (n + 1) dzieli się przez 3. To jednak jest oczywiste, bo jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.