/Konkursy/Zadania/Liczby/Całkowite

Zadanie nr 9746952

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba 31 2 ?

Rozwiązanie

Musimy ustalić dla jakiego k ,

k− 1 31 k 10 < 2 < 10

Sposób I

Zadanie jest łatwe do rozwiązania jeżeli mamy kalkulator lub tablice logarytmów. Ponieważ log 2 ≈ 0,3 , więc

31 log 2 = 31log 2 ≈ 9,3,

czyli

9 31 10 1 0 < 2 < 10 .

Sposób II

Jeżeli nie chcemy używać logarytmów, to możemy postąpić następująco

210 = 1024 > 1 03 ⇒ 231 = 2 ⋅230 > 2⋅ 109.

Zatem 231 ma co najmniej 10 cyfr. Aby zobaczyć, że nie ma więcej, szacujemy:

( ) ( ) 231 = 213 2 ⋅25 = (8192 )2 ⋅23 ⋅22 < 104 2 ⋅10⋅ 4 < 1010.

Przy okazji, z tych oszacowań widać, że pierwsza cyfra 31 2 to 2 lub 3 (tak naprawdę to jest 2).  
Odpowiedź: 10 cyfr

Wersja PDF