/Konkursy/Zadania/Liczby/Całkowite/Podzielność

Zadanie nr 3417192

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie n , dla których liczba 3 n + 3 jest podzielna przez n + 3 .

Rozwiązanie

Musimy sprawdzić kiedy ułamek

3 n--+-3- n + 3

jest liczbą naturalną. Przekształcamy go tak, aby w liczniku nie było n (dzielimy licznik przez mianownik grupując wyrazy).

3 3 2 2 n--+-3-= (n--+-3n-)-−-(3n--+-9n-)+--(9n-+-27)-−-24-= n2− 3n + 9 − --24--. n+ 3 n + 3 n + 3

Widzimy więc, że n + 3 musi dzielić 24, czyli n + 3 ∈ {4 ,6 ,8,12,24} . Zatem n ∈ { 1,3,5,9,21} .

Rozkład licznika mogliśmy też zrobić trochę sprytniej korzystając ze wzoru

n 3 + 3 = (n3 + 33)− 24 = (n + 3)(n 2 − 3n + 9)− 24.

 
Odpowiedź: n ∈ { 1,3,5,9,21}

Wersja PDF