/Konkursy/Zadania/Liczby/Całkowite/Podzielność

Zadanie nr 4821357

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby pierwsze p i q , gdzie p > q , nazywamy bliźniaczymi, jeżeli p − q = 2 . Udowodnij, że liczby pierwsze p i q są bliźniacze wtedy i tylko wtedy, gdy pq + 1 jest kwadratem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Załóżmy najpierw, liczby p i q są bliźniacze. W takim razie

2 2 pq + 1 = p (p− 2)+ 1 = p − 2p + 1 = (p− 1) .

Teraz w drugą stronę. Mamy

2 pq + 1 = k ⇒ pq = (k− 1)(k+ 1)

Prawa strona jest iloczynem dwóch liczb naturalnych większych od 1. Skoro p > q są liczbami pierwszymi, musi być

p = k + 1 ∧ q = k− 1,

czyli p − q = 2 .

Wersja PDF