Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5153722

Udowodnij, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Załóżmy, że liczb pierwszych jest skończenie wiele i wypiszmy je wszystkie: p 1,p 2,...,pn . Zauważmy, że liczba

p1p2 ⋅⋅⋅pn + 1

nie dzieli się przez żadną z liczb p 1,...,pn (bo przy dzieleniu przez każdą z nich daje resztę 1), więc musi to być liczba pierwsza (bo nie ma żadnych dzielników pierwszych mniejszych od siebie). Jest ona większa od każdej z liczb p1,...,pn co stanowi sprzeczność z naszym założeniem.

Zauważmy, że na ogół z tego, że liczby p 1,p2,...,pn są pierwsze wcale nie wynika, że liczba

p p ⋅⋅⋅p + 1 1 2 n

jest pierwsza. Np.

2⋅ 3⋅5 ⋅7 ⋅11⋅ 13+ 1 = 3003 1 = 59 ⋅509 2⋅ 3⋅5 ⋅7 ⋅11⋅ 13⋅ 17+ 1 = 5105 11 = 19 ⋅26869 .

Zawsze jednak liczba ta musi mieć dzielniki pierwsze większe od liczb p 1,p 2,...,pn i dlatego założenie, że liczb pierwszych jest skończenie wiele doprowadziło nas do sprzeczności.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!