Zadanie nr 5487875
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej liczba
jest podzielna przez 6.
Rozwiązanie
Sposób I
Zauważmy, że
![n3 + 3n2 − 28n = n(n2 + 3n − 2 8).](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR0x.png)
Rozłóżmy jeszcze trójmian w drugim nawiasie.
![Δ = 9 + 11 2 = 121 = 1 12 −3 − 1 1 − 3+ 11 n = ---------= − 7 lub n = ---------= 4 2 2](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR1x.png)
W takim razie
![n (n2 + 3n − 28) = n (n+ 7)(n − 4).](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR2x.png)
Widać teraz, że liczba ta jest parzysta – bo albo albo
jest liczbą parzystą. Wystarczy jeszcze udowodnić, że liczba ta dzieli się przez 3. To jest oczywiste jeżeli samo
dzieli się przez 3, więc załóżmy, że
nie dzieli się przez 3. Wtedy
lub
dla pewnej liczby całkowitej
W pierwszym przypadku
![n − 4 = 3k+ 1− 4 = 3k − 3 = 3 (k− 1 )](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR10x.png)
a w drugim
![n + 7 = 3k+ 2+ 7 = 3k + 9 = 3 (k+ 3 )](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR11x.png)
dzieli się przez 3.
Sposób II
Zauważmy najpierw, że liczba
![n3 + 3n 2 − 28n = n2(n + 3 )− 28n](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR12x.png)
jest parzysta, bo albo albo
jest liczbą parzystą. Wystarczy więc udowodnić, że liczba
![n3 + 3n2 − 28n = n3 − n + 3n 2 − 2 7n = n 3 − n + 3 (n2 − 9n)](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR15x.png)
dzieli się przez 3. To z kolei sprowadza się do udowodnienia, że liczba
![n3 − n = n(n2 − 1) = (n − 1)n (n + 1)](https://img.zadania.info/zad/5487875/HzadR16x.png)
dzieli się przez 3. A to jest prawda, bo powyższe wyrażenie to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych i jedna z tych 3 liczb musi dzielić się przez 3.