/Konkursy/Zadania/Liczby/Całkowite/Podzielność

Zadanie nr 7828056

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz najmniejszą liczbę 4-cyfrową, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 6, a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5.

Rozwiązanie

Można taką liczbę znaleźć sprawdzając kolejne liczby czterocyfrowe, ale można też postąpić tak: wiemy, że szukana liczba ma mieć postać x = 7k + 6 . W takim razie

x = 7k+ 6 = 6k + 6 + k = 6(k + 1) + k.

To oznacza, że reszta z dzielenia przez 6 liczby x jest taka sama jak reszta z dzielenia przez 6 liczby k . Zatem k = 6m + 5 i

x = 7k + 6 = 7 (6m + 5) + 6 = 42m + 4 1.

Teraz wystarczy tylko znaleźć najmniejszą liczbę m , dla której liczba x jest 4-cyfrowa. Takie m możemy wyznaczyć rozwiązując nierówność 42m + 41 ≥ 1000 . Szukaną liczbę otrzymamy dla m = 23 i jest to 1007.  
Odpowiedź: 1007

Wersja PDF